Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
МатрицыЛинейная алгебраВуз≈ 1:07

Найдите собственные значения матрицы [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: λ = 3, 3, 1.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Исходная задача (на английском): Найдите собственные значения матрицы [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    Найдите собственные значения матрицы [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Составляем характеристическое уравнение
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Характеристический многочлен
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Собственные векторы для λ = 3: решаем (A − λI)v = 0
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Собственные векторы для λ = 1: решаем (A − λI)v = 0
  4. 4. Ответ
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Проверка
    • Сумма собственных значений ≈ 7 равна следу 7.
    • Произведение собственных значений равно определителю 9.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите собственные значения матрицы [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы 3 умножить на 3.

Шаги, часть 1. Составляем характеристическое уравнение. Характеристический многочлен. Рациональные корни найдены по теореме о рациональных корнях. Собственные векторы для λ равно 3: решаем (A минус λI)v равно 0. Алгебраическая кратность 2, геометрическая кратность 2.

Шаги, часть 2. Собственные векторы для λ равно 1: решаем (A минус λI)v равно 0.

Ответ. Итак, ответ: λ равно 3, 3, 1. Собственные значения — корни характеристического многочлена. Собственные векторы: λ равно 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ равно 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Проверка. Сумма собственных значений приблизительно 7 равна следу 7. Произведение собственных значений равно определителю 9.

Похожие уроки

Найдите собственные значения матрицы [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3] — пошаговый видеоурок