Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:00

Интегрируйте 1/(1 + x² от -1 до 1

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 1.570796327 = π/2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
2. Пошагово
1. $\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Формула арктангенса: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Первообразная
4. $F(1) - F(-1) = 0.7853981634 - \left(-0.7853981634\right) = 1.570796327$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
3. Ответ
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = 1.570796327$
∫ from -1 to 1 = 1.570796327 = π/2
4. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 1.570796327 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 1/(1 плюс x в квадрате) от минус 1 до 1. Вычислим определённый интеграл от 1 / (1 плюс x в квадрате) в пределах от x равно минус 1 до x равно 1.

Пошагово. Записываем определённый интеграл. Формула арктангенса: интеграл от du/(a в квадрате плюс u в квадрате) равно (1/a) умножить на arctan(u/a). Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 1.570796327 равно пи/2. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 1.570796327, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки