Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:24

Интегрируйте 1/(x²+1) от 0 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Сходится: π/2 ≈ 1.570796327.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. Это несобственный интеграл
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Формула арктангенса: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Первообразная
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  Вычисляем часть от 0 до inf
3. Шаги, часть 2
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  Складываем части
4. Ответ
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. Проверка
- Первообразная проверена дифференцированием ✓
- Каждый предел первообразной вычислен модулем пределов и проверен численно ✓
- Приближённая численная оценка (с отступом 10⁻⁶ от асимптот и обрывом на ±1000 для бесконечных пределов): 1.5698

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 1/(x в квадрате плюс 1) от 0 до бесконечность. Вычислим несобственный интеграл от 1 / (x в квадрате плюс 1) в пределах от 0 до inf.

Шаги, часть 1. Это несобственный интеграл. Он несобственный, потому что один из пределов интегрирования бесконечен. Он определяется как предел и сходится, только если каждый предел конечен. Формула арктангенса: интеграл от du/(a в квадрате плюс u в квадрате) равно (1/a) умножить на arctan(u/a). Первообразная. Вычисляем часть от 0 до inf.

Шаги, часть 2. Складываем части. Каждый предел конечен, поэтому интеграл сходится.

Ответ. Итак, ответ: Сходится: пи/2 приблизительно 1.570796327. В несобственном интеграле особую точку заменяют переменной, интегрируют обычным образом и затем переходят к пределу. Конечный предел означает, что у бесконечной области всё же конечная площадь.

Проверка. Первообразная проверена дифференцированием, что верно. Каждый предел первообразной вычислен модулем пределов и проверен численно, что верно. Приближённая численная оценка (с отступом 10 в степени минус 6 от асимптот и обрывом на плюс-минус 1000 для бесконечных пределов): 1.5698.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки