Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:03

Интегрируйте 2x + 1 от 0 до 5

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 30.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{5} 2x+1\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{0}^{5} 2x+1\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $\int 1\,dx = x$
  Правило константы: ∫ k dx = kx
3. Шаги, часть 2
1. $\int 2x+1\,dx = {x}^{2}+ x$
  Правило суммы: интегрируем почленно
2. $F(x) = {x}^{2}+ x$
  Первообразная
3. $F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{0}^{5} 2x+1\,dx = 30$
∫ from 0 to 5 = 30
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 30 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 2x плюс 1 от 0 до 5. Вычислим определённый интеграл от 2 x плюс 1 от x равно 0 до x равно 5.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx. Правило константы: интеграл от k dx равно kx.

Шаги, часть 2. Правило суммы: интегрируем почленно. Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 30. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 30, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки