Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:53

Интегрируйте 1/x от 1 до e²

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Правило обратной величины: ∫ 1/x dx = ln|x|
3. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $F(x) = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Первообразная
3. Шаги, часть 2
1. $F({e}^{2}) - F(1) = 2 - 0 = 2$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx = 2$
∫ from 1 to e^2 = 2
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 2 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 1/x от 1 до e в квадрате. Вычислим определённый интеграл от 1 / x от x равно 1 до x равно e в квадрате.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Правило обратной величины: интеграл от 1/x dx равно ln|x|. Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx. Первообразная.

Шаги, часть 2. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 2. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 2, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки