Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:55

Интегрируйте sin(x)² от 0 до π

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 1.570796327 = π/2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx$
2. Пошагово
1. $\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}$
  Формула понижения степени: sin² u = (1 − cos 2u)/2
3. $F(x) = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}$
  Первообразная
4. $F(\pi) - F(0) = 1.570796327 - 0 = 1.570796327$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
3. Ответ
$\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = 1.570796327$
∫ from 0 to π = 1.570796327 = π/2
4. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 1.570796327 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте sin(x) в квадрате от 0 до pi. Вычислим определённый интеграл от sin(x) в квадрате от x равно 0 до x равно пи.

Пошагово. Записываем определённый интеграл. Формула понижения степени: sin в квадрате u равно (1 минус cos 2u)/2. Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 1.570796327 равно пи/2. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 1.570796327, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки