Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:18

Определенный интеграл e^(-2x) от 0 до ∞

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Сходится: 1/2 ≈ 0.5.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∫0∞e−2x dx\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. Это несобственный интеграл
    2. ∫e−2x dx=−12e2x\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Правило для экспоненты: ∫ eᵘ du = eᵘ (делим на производную внутренней функции)
    3. F(x)=−12e2xF(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Первообразная
    4. lim⁡x→∞F(x)=0,F(0)=−12≈−0.5\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5
      Вычисляем часть от 0 до inf
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Складываем части
  4. 4. Ответ
    ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5

    Converges to 1/2 ≈ 0.5

  5. 5. Проверка
    • Первообразная проверена дифференцированием ✓
    • Каждый предел первообразной вычислен модулем пределов и проверен численно ✓
    • Приближённая численная оценка (с отступом 10⁻⁶ от асимптот и обрывом на ±1000 для бесконечных пределов): 0.5

Расшифровка

Задача. Вот задача: Определенный интеграл e в степени минус 2x от 0 до бесконечность. Вычислим несобственный интеграл от e в степени минус 2 x) в пределах от 0 до inf.

Шаги, часть 1. Это несобственный интеграл. Он несобственный, потому что один из пределов интегрирования бесконечен. Он определяется как предел и сходится, только если каждый предел конечен. Правило для экспоненты: интеграл от eᵘ du равно eᵘ (делим на производную внутренней функции). Первообразная. Вычисляем часть от 0 до inf.

Шаги, часть 2. Складываем части. Каждый предел конечен, поэтому интеграл сходится.

Ответ. Итак, ответ: Сходится: 1 делить на 2 приблизительно 0.5. В несобственном интеграле особую точку заменяют переменной, интегрируют обычным образом и затем переходят к пределу. Конечный предел означает, что у бесконечной области всё же конечная площадь.

Проверка. Первообразная проверена дифференцированием, что верно. Каждый предел первообразной вычислен модулем пределов и проверен численно, что верно. Приближённая численная оценка (с отступом 10 в степени минус 6 от асимптот и обрывом на плюс-минус 1000 для бесконечных пределов): 0.5.

Похожие уроки

Определенный интеграл e^(-2x) от 0 до ∞ — пошаговый видеоурок