Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:16

Интегрируйте 3x² - 2x от -1 до 2

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 6.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 3{x}^{2}\,dx = {x}^{3}$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. Шаги, часть 2
1. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
2. $\int 3{x}^{2}-2x\,dx = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Правило суммы: интегрируем почленно
3. $F(x) = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Первообразная
4. $F(2) - F(-1) = 4 - \left(-2\right) = 6$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx = 6$
∫ from -1 to 2 = 6
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 6 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 3x в квадрате минус 2x от минус 1 до 2. Вычислим определённый интеграл от 3 x в квадрате минус 2 x в пределах от x равно минус 1 до x равно 2.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1).

Шаги, часть 2. Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx. Правило суммы: интегрируем почленно. Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 6. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 6, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки