Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:05

Интегрируйте x² + 1 от 1 до 2

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 10/3 ≈ 3.3333333.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 1\,dx = x$
  Правило константы: ∫ k dx = kx
4. $\int {x}^{2}+1\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  Правило суммы: интегрируем почленно
3. Шаги, часть 2
1. $F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  Первообразная
2. $F(2) - F(1) = 4.666666667 - 1.333333333 = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
∫ from 1 to 2 = 10/3 ≈ 3.3333333
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 3.333333333 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте x в квадрате плюс 1 от 1 до 2. Вычислим определённый интеграл от x в квадрате плюс 1 в пределах от x равно 1 до x равно 2.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Правило константы: интеграл от k dx равно kx. Правило суммы: интегрируем почленно.

Шаги, часть 2. Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 10 делить на 3 приблизительно 3.3333333. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 3.333333333, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки