Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:09

Интегрируйте x³-2x от 0 до 4

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 48.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {x}^{3}\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
4. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Шаги, часть 2
1. $\int {x}^{3}-2x\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}$
  Правило суммы: интегрируем почленно
2. $F(x) = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}$
  Первообразная
3. $F(4) - F(0) = 48 - 0 = 48$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
4. Ответ
$\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx = 48$
∫ from 0 to 4 = 48
5. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 48 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте x в кубе минус 2x от 0 до 4. Вычислим определённый интеграл от x в кубе минус 2 x в пределах от x равно 0 до x равно 4.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx.

Шаги, часть 2. Правило суммы: интегрируем почленно. Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 48. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 48, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки