Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:58

Интегрируйте 1/(x²+1) от 1 до 2

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 0.3217505544.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Пошагово
1. $\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Формула арктангенса: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Первообразная
4. $F(2) - F(1) = 1.107148718 - 0.7853981634 = 0.3217505544$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
3. Ответ
$\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = 0.3217505544$
∫ from 1 to 2 = 0.3217505544
4. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 0.3217505544 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте 1/(x в квадрате плюс 1) от 1 до 2. Вычислим определённый интеграл от 1 / (x в квадрате плюс 1) в пределах от x равно 1 до x равно 2.

Пошагово. Записываем определённый интеграл. Формула арктангенса: интеграл от du/(a в квадрате плюс u в квадрате) равно (1/a) умножить на arctan(u/a). Первообразная. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 0.3217505544. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 0.3217505544, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки