Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:12

Интегрируйте cos(x)³

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: sin(x) - sin(x)³/3 + C.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
      Записываем интеграл
    2. cos3(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)0+−1cos⁡(x)sin⁡(x)2cos^{3}( x) = 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}+-1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}
      Нечётная степень: запишем cos^3 u = cos u · (1 − sin² u)^1, затем подставим u = sin
    3. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=∫u0 du\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \int {u}^{0}\,du
      Подставим u = sin(x), тогда du = (cos(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=sin⁡(x)\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \sin\left( x\right)
      Вернёмся к исходной переменной u = sin(x)
    2. ∫−1cos⁡(x)sin⁡(x)2 dx=−1∫u2 du\int -1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = -1\int {u}^{2}\,du
      Подставим u = sin(x), тогда du = (cos(x)) dx
    3. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3}
      Интегрируем почленно
    4. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C
      Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
  4. 4. Ответ
    sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C

    ∫ cos(x)³ dx = sin(x) - sin(x)³/3 + C

  5. 5. Проверка
    • Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте cos(x) в кубе. Найдём неопределённый интеграл (первообразную) cos(x) в кубе по x.

Шаги, часть 1. Записываем интеграл. Нечётная степень: запишем cos в кубе u равно cos u умножить на (1 минус sin в квадрате u) в степени 1, затем подставим u равно sin. Подставим u равно sin(x), тогда du равно (cos(x)) dx. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1).

Шаги, часть 2. Вернёмся к исходной переменной u равно sin(x). Подставим u равно sin(x), тогда du равно (cos(x)) dx. Интегрируем почленно. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: sin(x) минус sin(x) в кубе/3 плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Интегрируйте cos(x)³ — пошаговый видеоурок