Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:59

Интегрируйте x √(x² + 1)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: (x² + 1)^(3/2) / 3 + C.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.4 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ∫xx2+1 dx\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ∫xx2+1 dx\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx
      Записываем интеграл
    2. ∫xx2+1 dx=12∫u du\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du
      Подставим u = x² + 1, тогда du = (2x) dx
    3. ∫u du=u32⋅23\int \sqrt{u}\,du = \frac{{u}^{\frac{3}{2}}\cdot2}{3}
      ∫ √u du = (2/3)u^(3/2)
    4. ∫xx2+1 dx=(x2+1)323\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}
      Выполняем обратную подстановку u = x² + 1
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ∫xx2+1 dx=(x2+1)323+C\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C
      Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
  4. 4. Ответ
    (x2+1)323+C\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

    ∫ x sqrt(x² + 1) dx = (x² + 1)^(3/2) / 3 + C

  5. 5. Проверка
    • Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте x sqrt(x в квадрате плюс 1). Найдём неопределённый интеграл (первообразную) x sqrt(x в квадрате плюс 1) по x.

Шаги, часть 1. Записываем интеграл. Подставим u равно x в квадрате плюс 1, тогда du равно (2x) dx. интеграл от квадратный корень из u du равно (2 делить на 3)u в степени 3 делить на 2). Выполняем обратную подстановку u равно x в квадрате плюс 1.

Шаги, часть 2. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: (x в квадрате плюс 1) в степени 3 делить на 2) / 3 плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Интегрируйте x √(x² + 1) — пошаговый видеоурок