Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
МатрицыЛинейная алгебраВуз≈ 0:49

Обратная матрица [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]].

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    [123014560]−1\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. det⁡A=1≠0\det A = 1 \neq 0
      Проверяем, что определитель не равен нулю
    2. [123100014010560001]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Записываем расширенную матрицу [A | I]
    3. R3→R3−5R1: [1231000140100−4−15−501]R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1
    4. R1→R1−2R2, R3→R3+4R2: [10−51−20014010001−541]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. R1→R1+5R3, R2→R2−4R3: [100−2418501020−15−4001−541]R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3
    2. A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}
      Правая половина теперь — обратная матрица
    3. AA−1=[100010001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
      Проверка: A·A⁻¹ = I
  4. 4. Ответ
    A−1=[−2418520−15−4−541]A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}

    A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]

  5. 5. Проверка
    • Умножение A на результат даёт в точности единичную матрицу.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Обратная матрица [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]. Находим обратную к матрице 3 умножить на 3.

Шаги, часть 1. Проверяем, что определитель не равен нулю. Записываем расширенную матрицу [A | I]. Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1. Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2.

Шаги, часть 2. Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3. Правая половина теперь — обратная матрица. Проверка: A умножить на A в степени минус 1 равно I.

Ответ. Итак, ответ: A в степени минус 1 равно [[-24, 18, 5], [20, минус 15, минус 4], [-5, 4, 1]]. Определитель равен 1, поэтому A обратима. Все элементы обратной матрицы точные.

Проверка. Умножение A на результат даёт в точности единичную матрицу.

Похожие уроки

Обратная матрица [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] — пошаговый видеоурок