Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Тригонометрические тождестваТригонометрияСтаршая школа≈ 1:19

Является ли sin(x)/(1 - cos(x)) = (1 + cos(x))/sin(x) тождеством?

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены)..

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    sin⁡(x)1−cos⁡(x)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\sin\left( x\right)}{1-\cos\left( x\right)} = \frac{1+\cos\left( x\right)}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. Выражаем всё через sin x и cos x
    2. −sin⁡xcos⁡x−1\frac{-\sin x}{\cos x - 1}
      Левая часть через синус и косинус
    3. cos⁡x+1sin⁡x\frac{\cos x + 1}{\sin x}
      Правая часть через синус и косинус
    4. левая часть−правая часть=ND,N=cos⁡2x+sin⁡2x−1\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1
      Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. N=0N = 0
      Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
    2. Числитель тождественно равен нулю
  4. 4. Ответ
    sin⁡(x)1−cos⁡(x)≡1+cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\sin\left( x\right)}{1-\cos\left( x\right)} \equiv \frac{1+\cos\left( x\right)}{\sin\left( x\right)}

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Проверка
    • Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Является ли sin(x)/(1 минус cos(x)) равно (1 плюс cos(x))/sin(x) тождеством? Докажем тригонометрическое тождество.

Шаги, часть 1. Выражаем всё через sin x и cos x. Выражение уже содержит только синус и косинус. Левая часть через синус и косинус. Правая часть через синус и косинус. Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю. Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.

Шаги, часть 2. Заменяем каждый cos в квадратеx на 1 минус sin в квадратеx и приводим подобные. Числитель тождественно равен нулю. После применения sin в квадрате плюс cos в квадрате равно 1 все члены взаимно уничтожились, поэтому обе части равны везде, где они определены.

Ответ. Итак, ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены). Записав обе части через синус и косинус и заменив cos в квадрате на 1 минус sin в квадрате, получаем, что разность частей равна ровно 0, поэтому sin(x)/(1 минус cos(x)) равно (1 плюс cos(x))/sin(x) выполняется при каждом x, при котором обе части определены.

Проверка. Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Похожие уроки

Является ли sin(x)/(1 - cos(x)) = (1 + cos(x))/sin(x) тождеством? — пошаговый видеоурок