Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Тригонометрические тождестваТригонометрияСтаршая школа≈ 1:15

Является ли cos(x)⁴ - sin(x)⁴ = cos(2x) тождеством?

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены)..

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    cos⁡(x)4−sin⁡(x)4=cos⁡(2x){\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} = \cos\left(2x\right)
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x
      Выражаем всё через sin x и cos x
    2. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Левая часть через синус и косинус
    3. −2sin⁡2x+1-2\sin^{2} x + 1
      Правая часть через синус и косинус
    4. левая часть−правая часть=ND,N=cos⁡4x−sin⁡4x−cos⁡2x+sin⁡2x\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{4} x - \sin^{4} x - \cos^{2} x + \sin^{2} x
      Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. N=0N = 0
      Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
    2. Числитель тождественно равен нулю
  4. 4. Ответ
    cos⁡(x)4−sin⁡(x)4≡cos⁡(2x){\cos\left( x\right)}^{4}-{\sin\left( x\right)}^{4} \equiv \cos\left(2x\right)

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Проверка
    • Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Является ли cos(x) в степени 4 минус sin(x) в степени 4 равно cos(2x) тождеством? Докажем тригонометрическое тождество.

Шаги, часть 1. Выражаем всё через sin x и cos x. Использованные тождества:. Левая часть через синус и косинус. Правая часть через синус и косинус. Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю. Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.

Шаги, часть 2. Заменяем каждый cos в квадратеx на 1 минус sin в квадратеx и приводим подобные. Числитель тождественно равен нулю. После применения sin в квадрате плюс cos в квадрате равно 1 все члены взаимно уничтожились, поэтому обе части равны везде, где они определены.

Ответ. Итак, ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены). Записав обе части через синус и косинус и заменив cos в квадрате на 1 минус sin в квадрате, получаем, что разность частей равна ровно 0, поэтому cos(x) в степени 4 минус sin(x) в степени 4 равно cos(2x) выполняется при каждом x, при котором обе части определены.

Проверка. Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Похожие уроки

Является ли cos(x)⁴ - sin(x)⁴ = cos(2x) тождеством? — пошаговый видеоурок