Тригонометрические тождестваТригонометрияСтаршая школа≈ 1:30

Является ли cos(2x) = 2cos(x) тождеством?

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Это не тождество: обе стороны не равны для всех значений..

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\cos\left(2x\right) = 2\cos\left( x\right)$
2. Шаги, часть 1
1. $\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
  Выражаем всё через sin x и cos x
2. $-2\sin^{2} x + 1$
  Левая часть через синус и косинус
3. $2\cos x$
  Правая часть через синус и косинус
4. $\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2\cos x$
  Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
3. Шаги, часть 2
1. $N = -2\sin^{2} x - 2\cos x + 1$
  Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
2. Числитель не равен нулю, поэтому стороны не тождественны
4. Ответ
$\cos\left(2x\right) \not\equiv 2\cos\left( x\right)$
LHS − RHS numerator = -2·sin^2(x) - 2·cos(x) + 1
5. Проверка
- При x = 30° левая сторона ≈ 0.5, но правая сторона ≈ 1.732050808.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Является ли cos(2x) равно 2cos(x) тождеством? Докажем тригонометрическое тождество.

Шаги, часть 1. Выражаем всё через sin x и cos x. Использованные тождества:. Левая часть через синус и косинус. Правая часть через синус и косинус. Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю. Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.

Шаги, часть 2. Заменяем каждый cos в квадратеx на 1 минус sin в квадратеx и приводим подобные. Числитель не равен нулю, поэтому стороны не тождественны. При x равно 30° левая сторона приблизительно 0.5, но правая сторона приблизительно 1.732050808.

Ответ. Итак, ответ: Это не тождество: обе стороны не равны для всех значений. Разность сторон не сокращается до 0. При x равно 30° левая сторона приблизительно 0.5, но правая сторона приблизительно 1.732050808. Уравнение всё ещё может быть верным для конкретных значений; решите его как уравнение, чтобы найти их.

Проверка. При x равно 30° левая сторона приблизительно 0.5, но правая сторона приблизительно 1.732050808.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки