Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Тригонометрические тождестваТригонометрияСтаршая школа≈ 1:16

Является ли (1 - cos(x))(1 + cos(x)) = sin(x)² тождеством?

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены)..

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    (1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))=sin⁡(x)2\left(1-\cos\left( x\right)\right) \left(1+\cos\left( x\right)\right) = {\sin\left( x\right)}^{2}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. Выражаем всё через sin x и cos x
    2. sin⁡2x\sin^{2} x
      Левая часть через синус и косинус
    3. sin⁡2x\sin^{2} x
      Правая часть через синус и косинус
    4. левая часть−правая часть=ND,N=−cos⁡2x−sin⁡2x+1\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = -\cos^{2} x - \sin^{2} x + 1
      Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. N=0N = 0
      Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
    2. Числитель тождественно равен нулю
  4. 4. Ответ
    (1−cos⁡(x))(1+cos⁡(x))≡sin⁡(x)2\left(1-\cos\left( x\right)\right) \left(1+\cos\left( x\right)\right) \equiv {\sin\left( x\right)}^{2}

    LHS − RHS reduces to 0

  5. 5. Проверка
    • Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Является ли (1 минус cos(x))(1 плюс cos(x)) равно sin(x) в квадрате тождеством? Докажем тригонометрическое тождество.

Шаги, часть 1. Выражаем всё через sin x и cos x. Выражение уже содержит только синус и косинус. Левая часть через синус и косинус. Правая часть через синус и косинус. Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю. Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.

Шаги, часть 2. Заменяем каждый cos в квадратеx на 1 минус sin в квадратеx и приводим подобные. Числитель тождественно равен нулю. После применения sin в квадрате плюс cos в квадрате равно 1 все члены взаимно уничтожились, поэтому обе части равны везде, где они определены.

Ответ. Итак, ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены). Записав обе части через синус и косинус и заменив cos в квадрате на 1 минус sin в квадрате, получаем, что разность частей равна ровно 0, поэтому (1 минус cos(x))(1 плюс cos(x)) равно sin(x) в квадрате выполняется при каждом x, при котором обе части определены.

Проверка. Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Похожие уроки

Является ли (1 - cos(x))(1 + cos(x)) = sin(x)² тождеством? — пошаговый видеоурок