Системы уравненийАлгебраСтаршая школа≈ 1:31

Решите систему -2x + y + z = -1, 3x - y + 2z = 9, 3y + 3z = 9

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = 2, y = 1, z = 2.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\begin{cases} -2x+ y+ z = -1 \\ 3x- y+2z = 9 \\ 3y+3z = 9 \end{cases}$
2. Шаги, часть 1
1. $\begin{cases} -2x + y + z = -1 \\ 3x - y + 2z = 9 \\ 3y + 3z = 9 \end{cases}$
  Записываем каждое уравнение в стандартном виде
2. $\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Составляем расширенную матрицу [A | b]
3. Метод Гаусса — Жордана
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Делим R1 на -2
3. Шаги, часть 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{\frac{1}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Делим R2 на 1/2
3. $R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2} R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 3R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & -18 & -36\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-18} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Делим R3 на -18
4. Шаги, часть 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 3R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 7R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Приведённый ступенчатый вид
3. $x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
  Выписываем единственное решение
5. Ответ
$x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
-2x + y + z = -1; 3x - y + 2z = 9; 3y + 3z = 9 ⇒ x = 2, y = 1, z = 2
6. Проверка
- Уравнение 1: -2x + y + z = -1 ✓
- Уравнение 2: 3x - y + 2z = 9 ✓
- Уравнение 3: 3y + 3z = 9 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Решите систему минус 2x плюс y плюс z равно минус 1, 3x минус y плюс 2z равно 9, 3y плюс 3z равно 9. Линейных уравнений: 3, неизвестных: 3 (x, y, z).

Шаги, часть 1. Записываем каждое уравнение в стандартном виде. Переносим все члены с переменными влево, а свободные члены вправо. Составляем расширенную матрицу [A | b]. Столбцы: x, y, z | свободный член. Метод Гаусса — Жордана. С помощью элементарных преобразований строк делаем каждый ведущий элемент равным 1 и обнуляем остальные элементы его столбца. Делим R1 на минус 2.

Шаги, часть 2. Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1. Делим R2 на 1 делить на 2. Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2. Делим R3 на минус 18.

Шаги, часть 3. Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3. Приведённый ступенчатый вид. Выписываем единственное решение.

Ответ. Итак, ответ: x равно 2, y равно 1, z равно 2. Система имеет ровно одно решение; при подстановке оно обращает каждое уравнение в верное равенство.

Проверка. Уравнение 1: минус 2x плюс y плюс z равно минус 1, что верно. Уравнение 2: 3x минус y плюс 2z равно 9, что верно. Уравнение 3: 3y плюс 3z равно 9, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки