Standart Sapma Nasıl Hesaplanır (Örneklem ve Anakütle)

Standart sapma neyi ölçer?

Ortalama bir veri kümesinin merkezinin nerede olduğunu gösterir, ama değerlerin onun etrafında ne kadar sıkı toplandığını göstermez. Standart sapma bu boşluğu doldurur. Küçük bir standart sapma değerlerin ortalamaya yakın olduğu, büyük bir standart sapma ise çok dağınık oldukları anlamına gelir. Verilerle aynı birimle ölçülür: boyların standart sapmasının 5 santimetre olması, tipik bir boyun ortalamadan yaklaşık 5 santimetre uzakta olduğu anlamına gelir.

Hesaplama basit bir mantığa dayanır. Her değerin ortalamaya uzaklığını ölçün, ortalamanın üstündeki ve altındaki değerler birbirini götürmesin diye bu uzaklıkların karesini alın, karelerin ortalamasını bulun ve sonunda başlangıçtaki birimlere dönmek için karekök alın. Ortalama kavramını tekrar etmek isterseniz ortalama, medyan, mod ve standart sapma makalesiyle başlayın.

İki formül

Verilerinizin tüm anakütleyi mi yoksa daha büyük bir anakütleden alınmış bir örneklemi mi oluşturduğuna bağlı olarak iki sürüm vardır:

Anakütle standart sapması $\sigma$, değer sayısı $N$'ye böler. Örneklem standart sapması $s$ ise $n - 1$'e böler. Kökün altındaki büyüklük, $\sigma^2$ ya da $s^2$ ile gösterilen varyanstır. Varyans kuramda kullanışlıdır, ama birimlerinin karesi alınmıştır, örneğin santimetre kare; bu yüzden genellikle standart sapma verilir.

Elle beş adım

$x$, $x - \bar{x}$ ve $(x - \bar{x})^2$ sütunlarından oluşan bir tablo işi düzenli tutmaya yardımcı olur. Yararlı bir kontrol: ikinci sütundaki sapmaların toplamı her zaman sıfırdır. Değilse ortalama yanlış bulunmuştur ve onunla birlikte ardından gelen her şey de.

Örneklemde neden n eksi 1'e bölünür?

Bir örneklemle çalışırken anakütlenin gerçek ortalamasını bilmezsiniz; bu yüzden sapmaları örneklem ortalamasından ölçersiniz. Ama bu ortalama, tanımı gereği, o örneklem için sapmaların kareleri toplamını en küçük yapan noktadır. Dolayısıyla ondan ölçülen sapmalar, gerçek ortalamadan ölçülecek olanlardan ortalamada biraz daha küçüktür.

$n$ yerine $n - 1$'e bölmek bu etkiyi dengeler ve örneklem varyansını anakütle varyansının yansız bir kestiricisi yapar. Bu düzeltmeye Bessel düzeltmesi denir. Ona serbestlik dereceleri açısından da bakılabilir: ortalama ve $n - 1$ sapma biliniyorsa sonuncusu belirlenmiştir, çünkü toplamları sıfır olmak zorundadır. Bağımsız bilgi taşıyan yalnızca $n - 1$ sapmadır.

Uygulamada, verileriniz ilgilendiğiniz grubun tüm üyelerini gerçekten kapsamıyorsa örneklem formülünü kullanın; kapsıyorsa, örneğin yalnızca o sınıf önemliyken bir sınıftaki tüm öğrencilerin notlarında, anakütle formülü uygundur.

Kısa formül ve frekans tabloları

Cebirsel olarak denk bir formül, her sapmayı ayrı ayrı hesaplama zahmetinden kurtarır:

Örnek 1'deki veriler için $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$; bu yüzden daha önce olduğu gibi $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$. Elle bu yol hızlıdır, ama bilgisayarlar büyük ya da çok hassas sayılarda ondan kaçınır, çünkü birbirine çok yakın iki büyük sayıyı çıkarmak hassasiyeti düşürür.

Sonuç nasıl yorumlanır?

Yaklaşık olarak çan biçimli normal dağılıma uyan veriler için deneysel kural standart sapmaya somut bir yorum kazandırır: değerlerin yaklaşık yüzde 68'i ortalamaya bir standart sapmadan, yaklaşık yüzde 95'i iki standart sapmadan ve yaklaşık yüzde 99,7'si üç standart sapmadan daha yakındır. Bir yetişkin grubunun boy ortalaması 170 santimetre ve standart sapması 8 ise grubun yaklaşık yüzde 95'inin boyu 154 ile 186 santimetre arasındadır.

Her biçimdeki veriler için Çebişev eşitsizliği yine de değerlerin en az yüzde 75'inin ortalamaya iki standart sapmadan, en az yaklaşık yüzde 89'unun da üç standart sapmadan daha yakın olduğunu garanti eder. Bir değerin ortalamaya uzaklığını standart sapma cinsinden ifade etmek, farklı ölçeklerde ölçülen değerleri karşılaştırmaya olanak veren z-skorunu verir.

Standart sapma veri dönüşümlerine de öngörülebilir biçimde tepki verir. Tüm değerlere aynı sabiti eklerseniz ortalama kayar, ama yayılım aynı kaldığından standart sapma değişmez. Tüm değerleri bir sabitle çarparsanız standart sapma o sabitin mutlak değeriyle çarpılır: metreden santimetreye geçmek onu 100 ile çarpar.

Hesap makinesiyle ya da elektronik tabloda

Bilimsel hesap makinelerinde genellikle iki tuş bulunur: anakütle sürümü için çoğunlukla $\sigma_x$ ya da $\sigma_n$, örneklem sürümü için $s_x$ ya da $\sigma_{n-1}$ olarak işaretlenir. Türkçe Excel'de STDSAPMA.P işlevi anakütle standart sapmasını, STDSAPMA.S ise örneklem standart sapmasını hesaplar; daha eski STDSAPMA işlevi de örneklem değerini verir. Yanlış işlevi seçmek, sonuçların tutmamasının en yaygın nedenidir.

Standart sapma hesap makinesi iki sürümü de tam sapma tablosuyla gösterir; elle çözülmüş bir ödevi kontrol etmek için idealdir. Ortalama, medyan ve mod hesap makinesi diğer göstergeleri tamamlar, z-skoru hesap makinesi ise sonucu tek tek değerleri standartlaştırmak için kullanır.

Farklı ölçeklerde yayılımı karşılaştırmak

Ortalamalar çok farklı olduğunda standart sapmaları karşılaştırmak zordur. 2 kg'lık bir standart sapma yeni doğan bebekler için çok büyük, yetişkin filler için ise önemsizdir. Değişim katsayısı, standart sapmayı ortalamaya bölerek bu sorunu çözer; genellikle yüzde olarak ifade edilir. Ortalama yıllık getirisi yüzde 6 ve 9, standart sapması 3 ve 9 yüzde puan olan iki yatırımın değişim katsayıları yüzde 50 ve 100'dür: ikincisi, tipik getirisine göre iki kat daha oynaktır.

Tipik hatalar

• Sapmaların karesini almayı unutmak; bu durumda pozitif ve negatif değerler birbirini götürür ve sıfır verir.
• Sonda karekök almayı unutmak ve standart sapma yerine varyansı vermek.
• Örneklem formülüyle anakütle formülünü karıştırmak ya da hesap makinesinde yanlış tuşa basmak.
• Sapmaları hesaplamadan önce ortalamayı fazla yuvarlamak; bu da yuvarlama hatalarının birikmesine yol açar.
• Frekans tablosunu her değer yalnızca bir kez görülüyormuş gibi işlemek.

Sıkça sorulan sorular