Ortalama, Medyan, Mod ve Standart Sapma: Eksiksiz Rehber

Merkez ve yayılım: iki temel soru

Bir sayı listesini bir bakışta okumak zordur. İstatistik onu iki sorunun cevabına indirger. Verilerin merkezi nerededir? Değerler bu merkezden genellikle ne kadar uzakta bulunur? Merkezî eğilim ölçüleri, yani ortalama, medyan ve mod, ilk soruyu yanıtlar. Açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapma gibi yayılım ölçüleri ise ikincisini.

İkisine de ihtiyaç vardır. İki sınıfın bir sınavdaki ortalama puanı aynı olabilir; ama birinde herkes ortalamaya yakındır, diğerinde ise sonuçlar başarısızlıktan tam puana kadar uzanır. Yalnızca merkez bu farkı gizler, yalnızca yayılım ise sınıfın genel başarısı hakkında hiçbir şey söylemez.

Ortalama

Ortalama, ya da aritmetik ortalama, değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür. $x_1, x_2, \ldots, x_n$ veri kümesi için:

Ortalama tüm değerleri kullanır; bu onu verimli ama aynı zamanda hassas kılar. Tek bir uç değer, yani aykırı değer, onu belirgin biçimde kaydırabilir. Ağırlıklı ortalama bazı değerlere diğerlerinden daha fazla ağırlık verir. Final sınavı notun yüzde 60'ını, ödevler yüzde 40'ını oluşturuyorsa 80 ve 90 puanları birlikte basit ortalama olan 85'i değil, $0.6(80) + 0.4(90) = 84$'ü verir.

Medyan

Medyan, veriler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra konum bakımından ortada kalan değerdir. Değer sayısı tekse ortadaki tek değerdir; çiftse ortadaki iki değerin ortalamasıdır.

Medyan uç değerlerin ne kadar uzakta olduğunu hesaba katmaz; bu yüzden aykırı değerlere karşı dayanıklıdır. Beş kişinin yılda 30, 35, 40, 45 ve 50 bin dolar kazandığını varsayalım. Hem ortalama hem medyan 40 bindir. Bir milyon dolar, yani 1 000 bin dolar kazanan altıncı bir kişi eklenirse ortalama 200 bine çıkar, yeni gelen dışında herkesin kazancından fazlasına, medyan ise yalnızca 42,5 bine yükselir. Konut fiyatlarının ve gelirlerin genellikle medyanla verilmesinin nedeni budur.

Mod

Mod, en sık görülen değerdir. Sınav sonuçlarında 85 üç kez geçer; bu yüzden mod 85'tir. Bir veri kümesinin bir modu, iki modu (bu durumda iki modlu denir), birkaç modu olabilir ya da her değer tam olarak bir kez görünüyorsa hiç modu olmayabilir.

Mod, nitel veriler için kullanılabilen tek merkez ölçüsüdür. Sevilen renklerin ya da spor ayakkabı markalarının ortalaması alınamaz, ama hangisinin en popüler olduğu söylenebilir. Sayısal verilerde mod, özellikle değerler sık tekrarlandığında kullanışlıdır; örneğin bir ayakkabı mağazasının satışlarındaki numaralar: en çok satan numara, satın alma bölümünün tam olarak bilmesi gereken şeydir.

Hangi merkez ölçüsü seçilmeli?

• İnsanların boyu ya da ölçüm hataları gibi, belirgin aykırı değerleri olmayan, aşağı yukarı simetrik veriler için ortalamayı kullanın.
• Gelirler, konut fiyatları ya da bekleme süreleri gibi çarpık ya da aykırı değerler içeren veriler için medyanı kullanın.
• Yalnızca en sık seçeneğin önemli olduğu kategoriler ya da kesikli değerler için modu kullanın.

Ortalamayı medyanla karşılaştırmak verilerin biçimi hakkında da bilgi verir. Ortalama medyandan belirgin biçimde büyükse onu büyük değerlerden oluşan uzun bir kuyruk yukarı çekiyordur ve dağılım sağa çarpıktır. Ortalama daha küçükse dağılım sola çarpıktır. Sınav sonuçlarında 82,1 olan ortalama 85 olan medyandan küçüktür, çünkü birkaç düşük sonuç ortalamayı aşağı çeker.

Yayılımı ölçmek: açıklık ve standart sapma

En basit yayılım ölçüsü açıklıktır: en büyük değer eksi en küçük değer. Sınav sonuçları için $95 - 68 = 27$ puandır. Açıklığı hesaplamak kolaydır, ama tamamen en uçtaki iki değere bağlıdır. Verilerin ortadaki yarısının yayılımını ölçen çeyrekler açıklığı daha dayanıklıdır.

Standart sapma en yaygın yayılım ölçüsüdür. Bir değerin ortalamadan tipik uzaklığını kabaca gösterir. Tüm anakütle için:

$n$'ye ve $n - 1$'e bölmek arasındaki fark ve bunun neden önemli olduğu standart sapma nasıl hesaplanır makalesinde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Uygun göstergeleri nasıl eşleştirmeli?

Bir veri kümesinin iyi bir özeti, birbiriyle uyumlu bir merkez ölçüsü ve bir yayılım ölçüsü içerir. Ortalama doğal olarak standart sapmayla eşleşir, çünkü ikisi de tüm değerleri kullanır ve ikisi de aykırı değerlere duyarlıdır. Medyan çeyrekler açıklığıyla eşleşir, çünkü ikisi de dayanıklıdır. Medyanı standart sapmayla birlikte vermek iki farklı mantığı karıştırmak demektir ve kafa karıştırabilir.

Çan biçimli veriler için ortalama ve standart sapma şaşırtıcı derecede eksiksiz bir tablo sunar: değerlerin yaklaşık yüzde 68'i ortalamaya bir standart sapmadan, yaklaşık yüzde 95'i de iki standart sapmadan daha yakındır. Bir değerin ortalamaya uzaklığını standart sapma cinsinden ölçmek tam olarak z-skorunun yaptığı şeydir. Ortalama, medyan ve mod hesap makinesi bu makaledeki tüm ölçüleri yapıştırdığınız listeden hesaplar, standart sapma hesap makinesi ise yayılım hesabının her adımını gösterir.

Çeyrekler ve çeyrekler açıklığı

Çeyrekler sıralı verileri dört eşit parçaya böler. Basit bir yol, her yarının medyanını almaktır. Sıralı sonuçlarda alt yarı 68, 72, 77, 85'tir; bu yüzden birinci çeyrek $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$'tir. Üst yarı 85, 85, 90, 95'tir; bu yüzden üçüncü çeyrek $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$'tir. Çeyrekler açıklığı $87.5 - 74.5 = 13$ puandır: bu, sınıfın ortadaki yarısının genişliğidir.

Ders kitapları ve yazılımlar çeyrekler için biraz farklı kurallar kullanır; bu yüzden sonuçlardaki küçük farklar normaldir ve hata anlamına gelmez. Yaygın bir kural, birinci çeyreğin 1,5 çeyrekler açıklığından daha fazla altında ya da üçüncü çeyreğin üstünde kalan her değeri olası bir aykırı değer olarak işaretler. Burada sınırlar 55 ve 107'dir; dolayısıyla olağan dışı bir sonuç yoktur.

Sıkça sorulan sorular