Standart Sapma Hesap Makinesi

Standart sapma hesap makinesi hakkında

Standart sapma, verilerin ortalama etrafında ne kadar dağıldığını gösterir. Küçük bir standart sapma değerlerin ortalamaya yakın olduğu, büyük bir standart sapma ise geniş bir alana yayıldıkları anlamına gelir.

Veriler ilgilendiğiniz grubun tüm üyelerini kapsıyorsa popülasyon formülünü, veriler daha geniş bir popülasyonu tahmin etmek için kullanılan bir örneklemse $n-1$ ile bölünen örneklem formülünü kullanın.

Standart sapma neyi ölçer?

Standart sapma, bir sayı kümesinin kendi ortalaması etrafında ne kadar uzağa dağıldığını ölçer. Küçükse değerler ortalamaya yakındır; büyükse geniş bir alana yayılmışlardır. İki sınıfın bir sınavda aynı ortalama puanı, 70, alması mümkündür; ama birinin standart sapması 3, diğerininki 15 ise birinci sınıfın sonuçları dengelidir, ikincisinde ise hem geride kalan hem de çok güçlü öğrenciler vardır.

Standart sapma, sapmalardan, yani her değerin ortalamaya uzaklığından hesaplanır. Bu sapmaların toplamı her zaman sıfırdır; bu yüzden ortalama alınmadan önce kareleri alınır ve varyans elde edilir. Varyansın karekökü alınınca özgün birimlere dönülür: santimetre cinsinden ölçülen boyların standart sapması da santimetre cinsindendir.

Standart sapma hesap makinesi nasıl kullanılır?

Sayıları virgüllerle, boşluklarla veya satır sonlarıyla ayırarak yazın ya da yapıştırın.
«Örneklem» veya «Popülasyon» seçeneğini seçin.
Ortalamayı, sapmaların karelerini, varyansı ve standart sapmayı görmek için «Hesapla» düğmesine basın.

Formüller

Popülasyonun standart sapması

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Örneklemin standart sapması

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Veri kümesinin varyansı

\sigma^2,\ s^2 = (\text{standart sapma})^2

Çözümlü örnek: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (örneklem)

Çözümlü örnekte 4, 8, 6, 5, 3, 7 sayıları bir örneklem olarak ele alınır. Ortalama $\frac{33}{6} = 5.5$ olur. Sapmalar $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , karelerinin toplamı ise 17,5'tir. $n - 1 = 5$ ile bölünce örneklem varyansı 3,5 bulunur; bunun karekökü örneklem standart sapması olan $s \approx 1.870828693$ değeridir. Karşılaştırma için: aynı altı sayı popülasyonun tamamı sayılırsa 6 ile bölünür ve $\sigma \approx 1.707825128$ elde edilir.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

s = 1.870828693

Probleminizi nasıl okuduk

Veriyi daha büyük bir ana kütleden alınmış bir örneklem olarak ele alalım (Bessel düzeltmesi, şuna bölelim: n − 1).

Adım adım çözüm

Ortalamayı bulalım
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Ortalamadan her sapmanın karesini alalım
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Sapmaların karelerini toplayalım
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Örneklem varyansını bulmak için şuna bölelim: n − 1
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Karekökü alın
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Kullanılan formüller

Örneklem standart sapması
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Ana kütle standart sapması
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

Standart sapma, değerlerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını gösterir. Küçük bir değer, verinin ortalamanın yakınında toplandığı anlamına gelir.

Doğrulama

Varyans = 3.5, ve 1.870828693² = 3.5
Karşılaştırma için ana kütle standart sapması: 1.707825128

Ayrıntılı açıklama

Uygulamada örneklem mi, popülasyon mu?

İki formül yalnızca paydada farklıdır, ama küçük veri kümelerinde seçim önemlidir. Sayılar ilgilendiğiniz grubun tüm üyelerine aitse, örneğin bir sınıftaki 25 öğrencinin hepsinin notlarıysa, $N$ ile popülasyon formülünü kullanın. Daha büyük bir gruptaki dağılımı tahmin etmek için kullanılan bir örneklemse, örneğin tüm okuldan rastgele seçilmiş 25 öğrenciyse, $n - 1$ ile örneklem formülünü kullanın. Hesap makinesinin ikinci örneğinde, popülasyon olarak 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 için ortalama 5, sapmaların karelerinin toplamı ise 32'dir; bu yüzden $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ olur.

Sonuç nasıl yorumlanır?

Çan eğrisi biçiminde dağılan veriler için deneysel kural, değerlerin yaklaşık %68'inin ortalamadan bir standart sapmadan daha az, yaklaşık %95'inin ikiden daha az, yaklaşık %99,7'sinin ise üçten daha az uzaklıkta olduğunu söyler. Bu yüzden ortalamadan iki standart sapmadan daha fazla uzaktaki bir değer olağan dışıdır. Bir değerin ortalamaya uzaklığı standart sapmaya bölünürse, farklı ölçeklerdeki sonuçları, örneğin bir sınav notunu ve bir koşu süresini karşılaştırmayı sağlayan z-skoru elde edilir.

Sapmaların karesi alındığı için standart sapma aykırı değerlere duyarlıdır ve tek bir uç değer onu çok büyütebilir. Çok çarpık veriler için dağılımı çoğu zaman çeyrekler açıklığı daha iyi anlatır.

Sık yapılan hatalar

Örneklem için $n - 1$ yerine $n$ kullanıp dağılımı olduğundan küçük göstermek.
Sapmaların karesini almayı unutmak; bu durumda pozitif ve negatif sapmalar birbirini sıfıra kadar götürür.
Standart sapma sorulduğunda varyansı vermek.
Sapmaları hesaplamadan önce ortalamayı yuvarlayıp tüm kareleri bozmak.
Sonda karekök almayı unutup varyansı standart sapma diye vermek.

İpuçları

Çan eğrisi biçimindeki verilerde değerlerin yaklaşık %68'i ortalamadan bir standart sapmadan daha az uzaktadır.
Standart sapma verilerle aynı birimle ölçülür; varyans ise bu birimlerin karesiyle.
Tüm değerleri aynı sabit kadar kaydırmak standart sapmayı değiştirmez.
Tüm değerlere bir sabit eklenirse standart sapma değişmez; tüm değerler $k$ ile çarpılırsa standart sapma $|k|$ ile çarpılır.
Belirli bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu öğrenmek için z-skoru hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Standart sapma nedir?

Ortalamadan sapmaların karelerinin ortalamasının kareköküdür. Bir değerin ortalamadan genellikle ne kadar uzakta olduğunu gösterir.

Hangi formül kullanılmalı: örneklem mi, popülasyon mu?

Elinizde grubun tamamının verileri varsa popülasyon formülünü. Veriler, daha büyük bir grubu tanımlamak için kullanılan bir parçaysa örneklem formülünü; bu daha sık karşılaşılan durumdur.

Örneklem formülünde neden n − 1 ile bölünür?

Örneklem ortalaması örneklemdeki değerlere gerçek ortalamadan daha yakındır, bu da sapmaların daha küçük çıkmasına yol açar. $n-1$ ile bölmek (Bessel düzeltmesi) bu etkiyi dengeler ve varyansın yansız bir tahminini verir.

Standart sapma sıfır olabilir mi?

Evet, ancak ve ancak tüm değerler aynıysa. Negatif olamaz.

Kaç değer gerekir?

Popülasyonun standart sapması için tek bir değer yeterlidir (bu durumda 0 olur). Örneklem formülü en az iki değer gerektirir.

Varyans ile standart sapma arasındaki fark nedir?

Varyans, sapmaların karelerinin ortalamasıdır; standart sapma ise onun kareköküdür ve ölçüyü verilerin birimine geri döndürür.

Hangi standart sapma düşük ya da yüksek sayılır?

Evrensel bir sınır yoktur: her şey verilerin ölçeğine bağlıdır. Dağılımın tipik değerlere göre büyük olup olmadığını anlamak için onu ortalamayla karşılaştırın ya da $\frac{s}{\bar x}$ değişim katsayısını kullanın.

Aykırı bir değer standart sapmayı nasıl etkiler?

Güçlü biçimde, çünkü her sapmanın karesi alınır. Örnekte 7 yerine 70 yazılırsa örneklem standart sapması yaklaşık 1,87'den 26'nın üzerine çıkar.

Standart sapma hesap makinesini deneyin

Verilerinizi yapıştırın; her adımın açıklamasıyla ortalamayı, varyansı ve standart sapmayı alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun