Permütasyon ve Kombinasyon Hesap Makinesi

Permütasyon ve kombinasyon hesap makinesi hakkında

Sayma problemlerinin çoğu tek bir soruya dayanır: seçilen öğelerin sırası önemli mi? Koşucuları kürsüye yerleştirmek bir permütasyondur, çünkü «altın — gümüş — bronz» ile «bronz — gümüş — altın» aynı şey değildir. Bir komisyon için üç kişi seçmek bir kombinasyondur, çünkü aynı üç kişi hangi sırayla seçilirse seçilsin aynı komisyonu oluşturur.

Hesap makinesi dört standart durumu kapsar: tekrarsız permütasyonlar ve kombinasyonlar, tekrarlı permütasyonlar (örneğin rakamlardan oluşan PIN kodları) ve tekrarlı kombinasyonlar (örneğin birkaç çeşit arasından dondurma topu seçmek). Tam sayılarla çalışır: poker ellerinin sayısı gibi çok büyük adetler bile yuvarlanmadan, eksiksiz verilir.

Permütasyon ve kombinasyon nedir?

Permütasyon, $n$ farklı öğeden seçilmiş $r$ öğenin sıralı bir listesidir. Sayıları $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , yani $n!$ ifadesinin ilk $r$ çarpanının çarpımıdır. Kombinasyon ise sıraya bakılmayan bir seçimdir ve sayıları $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ olur.

İkisi birbirine bağlıdır: $r$ öğeli her kombinasyon $r!$ farklı biçimde sıralanabilir, bu yüzden $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ olur. Hesap makinesi permütasyon ve kombinasyon sonuçlarının her birini bu özdeşlikle kontrol eder.

Permütasyon ve kombinasyon hesap makinesi nasıl kullanılır?

Neyi saymak istediğinizi seçin: kombinasyonlar, permütasyonlar, tekrarlı permütasyonlar veya tekrarlı kombinasyonlar.
Toplam öğe sayısı n'yi girin.
Seçilecek öğe sayısı r'yi girin.
«Hesapla» düğmesine basın.
Sonucu, kullanılan formülü ve sadeleştirme adımlarını inceleyin.

Formüller

Permütasyonlar

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Kombinasyonlar

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Tekrarlı permütasyonlar

n^r

Tekrarlı kombinasyonlar

\binom{n + r - 1}{r}

Çözümlü örnek: C(10, 3)

Örnekte, sıranın önemli olmadığı durumda 10 öğeden 3 öğe seçmenin yollarının sayısı olan $C(10, 3)$ bulunur. Önce sıralı seçimler sayılır: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Her üçlü bu listede, olası her sıralama için bir kez olmak üzere $3! = 6$ kez görülür; bu yüzden $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ olur. Kontrol bunu doğrular: $120 \times 6 = 720$ .

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

120

Probleminizi nasıl okuduk

Kombinasyonlar C(n, r) (sıra önemli değil)

Adım adım çözüm

Kombinasyon formülünü uygulayalım
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Sıra önemli olmadığı için permütasyon sayısını r! ile bölelim
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Kullanılan formüller

Kombinasyonlar C(n, r) (sıra önemli değil)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Sıra önemli olmadığında 10 öğe arasından 3 öğe seçmenin yol sayısı: 120.

Doğrulama

Kontrol: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Ayrıntılı açıklama

Faktöriyeller neden sadeleşir?

$\frac{n!}{(n-r)!}$ için çok büyük sayılar gerekiyormuş gibi görünür, ama çarpanların çoğu sadeleşir. $P(8, 3)$ için yalnızca $8 \times 7 \times 6 = 336$ kalır: birinci sıra için sekiz, ikinci için yedi, üçüncü için altı seçenek. Hesap makinesi tam faktöriyelleri hesaplamak yerine bu sadeleştirmeyi gösterir.

Kombinasyonlar her seçimin $r!$ sıralamasını birbirinden ayırmaz. Bu yüzden $C(n, r)$ hiçbir zaman $P(n, r)$ değerinden büyük değildir ve yine bu yüzden $C(n, r) = C(n, n - r)$ olur: yanınıza alacağınız $r$ öğeyi seçmek, geride bırakacağınız $n - r$ öğeyi seçmekle aynı şeydir.

Tekrarlı sayma

Öğeler tekrarlanabiliyor ve sıra önemliyse $r$ konumun her biri için $n$ seçenek vardır; bu da $n^r$ verir. Dört basamaklı, rakamlardan oluşan bir PIN kodunun $10^4 = 10{,}000$ seçeneği vardır.

Öğeler tekrarlanabiliyor ama sıra önemli değilse toplar ve çubuklar yöntemi $\binom{n + r - 1}{r}$ verir. 3 çeşitten tekrarlı olarak 4 top dondurma $\binom{6}{4} = 15$ farklı biçimde seçilebilir. Bu modda $r$ , $n$ değerinden büyük olabilir.

Büyük sayılar ve uç durumlar

Beş kartlık farklı poker ellerinin sayısı $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ olur; tam sayı aritmetiği sayesinde hesap makinesi bu tür sonuçları tam olarak saklar. Hiçbir şey seçmemenin tam olarak bir yolu olduğu için uzlaşım gereği $C(n, 0) = 1$ kabul edilir.

Tekrar olmadan, var olandan daha fazla öğe seçilemez. $C(3, 5)$ isterseniz anlaşılır bir mesaj, anlamsız bir sıfır göstermek yerine tekrarlı modu veya daha küçük bir $r$ önerir.

Kombinasyonlar ve Pascal üçgeni

$C(n, r)$ değerleri, her sayının hemen üstündeki iki sayının toplamına eşit olduğu Pascal üçgenini oluşturur: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Bu bağıntının kombinatorik bir açıklaması vardır. Bir öğeyi sabitleyin; her seçim ya onu içerir, bu durumda kalan $n - 1$ öğeden $r - 1$ öğe seçmek gerekir, ya da içermez, bu durumda $r$ öğenin hepsi kalan $n - 1$ öğeden seçilir.

Aynı sayılar $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ binom açılımının katsayılarıdır; binom katsayıları adı da buradan gelir. Bir satırın tamamının toplamı $2^n$ olur; bu, $n$ öğeli bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısıdır, çünkü her öğe ya alt kümeye girer ya da girmez.

Sık yapılan hatalar

Sıra önemli değilken permütasyon kullanıp cevabı $r!$ kat büyütmek.
PIN kodları, sıralamalar veya oturma düzenleri gibi sıralı listeler için kombinasyon kullanmak.
Tekrarın formülü tamamen değiştirdiğini unutmak.
Sadeleştirmek yerine tam faktöriyelleri elle hesaplayıp hataya davetiye çıkarmak.
Öğeler tekrarlanamıyorken r değerini n değerinden büyük almak.

İpuçları

Kendinize sorun: «Seçilen iki öğenin yerini değiştirirsem farklı bir sonuç elde eder miyim?» Cevap evetse bu bir permütasyondur.
Elle hesabı kolaylaştırmak için $C(n, r) = C(n, n - r)$ eşitliğini kullanın.
Karmaşık problemleri aşamalara ayırın ve her aşamadaki seçenek sayılarını çarpın (çarpma kuralı).
Bir adedi olasılığa çevirmek için onu olası sonuçların toplam sayısına bölün.
Yalnızca bir adet değil, k başarının olasılığı gerekiyorsa olasılık hesap makinesinin binom modunu kullanın.
Önce tahmin edin: kombinasyon sayısı karşılık gelen permütasyon sayısından büyük çıktıysa bir şeyler yanlıştır.

Sıkça sorulan sorular

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?

Permütasyonlar sıralı listeleri, kombinasyonlar ise sıraya bakılmayan seçimleri sayar. 10 öğeden 3 öğe seçmek 720 permütasyon, ama yalnızca 120 kombinasyon verir.

Kombinasyon sayısı nasıl bulunur?

n! ÷ (r!(n − r)!) formülünü kullanın. Uygulamada n! ifadesinin ilk r çarpanını çarpın ve r! ile bölün. C(10, 3) için 720 ÷ 6 = 120 bulunur.

Permütasyon sayısı nasıl bulunur?

n! ifadesinin ilk r çarpanını çarpın: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Beş kartlık kaç poker eli vardır?

C(52, 5) = 2.598.960, çünkü kartları hangi sırayla aldığınız önemli değildir.

«Tekrarlı» ne demektir?

Rakamlardan oluşan bir PIN kodundaki rakamlar gibi, her öğenin birden fazla kez seçilebileceği anlamına gelir. Tekrarlı sıralı seçimlerin sayısı nʳ, sırasız seçimlerin sayısı ise C(n + r − 1, r) olur.

C(n, 0) neden 1'e eşittir?

Çünkü hiçbir öğe seçmemenin tam olarak bir yolu vardır: boş seçim. Aynı akıl yürütme 0! = 1 sonucunu verir.

r, n değerinden büyük olabilir mi?

Yalnızca tekrara izin veriliyorsa. Tekrar yoksa hesap makinesi var olandan daha fazla öğe seçilemeyeceğini açıklar.

Permütasyon ve kombinasyon hesap makinesini deneyin

n ve r değerlerini girin; tam adedi, formülü ve faktöriyel sadeleştirmesini adım adım alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun