Olasılık Hesap Makinesi

Olasılık hesap makinesi hakkında

Olasılık, bir olayın ne kadar mümkün olduğunu 0 (imkânsız) ile 1 (kesin) arasındaki bir ölçekte gösterir. Ders kitaplarındaki problemlerin çoğu birkaç kalıbı izler: elverişli sonuçları saymak, bağımsız olayları birleştirmek, zaten bilinen bilgiyi hesaba katmak ve tekrarlanan denemelerdeki başarıları saymak. Bu hesap makinesi dördünün de üstesinden gelir.

Verileri tam sayı adetler, 0,25 gibi ondalık sayılar, 1/4 gibi kesirler veya %25 gibi yüzdeler olarak girebilirsiniz. Mümkün olduğunda cevap, ondalık değeri ve yüzdesiyle birlikte tam bir kesir olarak verilir; böylece öğretmeninizin veya ders kitabınızın istediği biçimde yazabilirsiniz. Her mod, problemlerin genellikle ardından sorduğu tümleyen veya ilişkili olasılıkları da gösterir.

Olasılık nedir?

Rastgele bir deneyin tüm sonuçları eşit olasılıklıysa $A$ olayının olasılığı, $A$ için elverişli sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına bölümüdür. İki zar atıldığında eşit olasılıklı 36 sonuç vardır ve bunların altısında zarların toplamı 7'dir; bu yüzden $P(\text{toplam} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ olur.

Olasılıklar birkaç kurala uyar: 0 ile 1 arasındadırlar, $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $1 - P(A)$ , $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı ise $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ olur. Koşullu olasılık ve binom dağılımı doğrudan bu kurallar üzerine kurulur.

Olasılık hesap makinesi nasıl kullanılır?

Problem türünü seçin: tek olay, iki bağımsız olay, koşullu olasılık veya binom dağılımı.
Tek olay için elverişli sonuçların sayısını ve eşit olasılıklı sonuçların toplam sayısını girin.
Bağımsız olaylar için P(A) ve P(B) değerlerini; koşullu olasılık için P(A ve B) ile P(B) değerlerini girin.
Binom problemi için deneme sayısı n'yi, başarı olasılığı p'yi ve başarı sayısı k'yi girin; ayrıca tam olarak, en çok, k'den az, en az veya k'den fazla seçeneklerinden hangisinin gerektiğini belirtin.
«Olasılığı hesapla» düğmesine basın ve tam cevabı, yüzdeyi ve gerekçelendiren adımları inceleyin.

Formüller

Klasik olasılık tanımı

P(A) = \frac{\text{elverişli sonuçlar}}{\text{tüm sonuçlar}}

Bağımsız olaylar

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Koşullu olasılık

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Binom olasılığı formülü

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Çözümlü örnek: İki zar: P(toplam 7) = 6/36

Örnekte iki hilesiz zarın toplamının 7 olma olasılığı aranır. 36 olası sonuçtan 6 tanesi elverişlidir — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) ve (6,1) — bu yüzden $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , yani yaklaşık %16,67 olur.

Hesap makinesi ayrıca tümleyen olayın olasılığını, yani başka herhangi bir toplamın olasılığı olan $1 - \frac16 = \frac56$ değerini ve elverişli sonuçları tüm sonuçlarla değil, elverişsiz sonuçlarla karşılaştıran olay lehine bahis oranını, $6 : 30$ , bulur.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Probleminizi nasıl okuduk

Tek olay (elverişli ÷ toplam)

Adım adım çözüm

Elverişli sonuç sayısını eşit olasılıklı toplam sonuç sayısına bölelim
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Tümleyen: olay gerçekleşmez
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Olayın lehine oran
$6 : 30$

Kullanılan formüller

Klasik olasılık
$P(A) = \frac{\text{elverişli sonuçlar}}{\text{toplam sonuçlar}}$
Tümleyen olay
$P(A') = 1 - P(A)$

Olay, eşit olasılıklı 36 sonucun 6 tanesinde gerçekleşir; bu yüzden olasılığı 16.666667% olur; gerçekleşmeme olasılığı ise 83.333333% olur.

Ayrıntılı açıklama

Bağımsız olaylar ve toplama kuralı

Birinin gerçekleştiğini bilmek diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır; iki ayrı yazı tura atışında olduğu gibi. Bu durumda ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı çarpıma eşittir. $P(A) = \frac12$ ve $P(B) = 0.3$ olduğunda iki olay birlikte $0.15$ olasılıkla, en az biri $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ olasılıkla, tam olarak biri $0.65 - 0.15 = 0.5$ olasılıkla, hiçbiri ise $0.5 \times 0.7 = 0.35$ olasılıkla gerçekleşir.

Hesap makinesi $P(A \cup B) + P(\text{hiçbiri}) = 1$ eşitliğini kontrol eder; bu iki durum birlikte tüm sonuçları kapsadığı için bu, yararlı bir denetimdir.

Koşullu olasılık

Koşullu olasılık, örnek uzayını $B$ olayının gerçekleştiği sonuçlarla daraltır ve bu daha küçük uzayda $A$ olayının da ne sıklıkla gerçekleştiğini sorar. Müşterilerin %12'si telefon ve kılıf, %40'ı ise telefon alıyorsa $P(\text{kılıf} \mid \text{telefon}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ olur: telefon alanların %30'u kılıf da alır.

Kesişimin olasılığı hiçbir zaman $P(B)$ değerinden büyük olamaz, $P(B)$ ise kesinlikle pozitif olmalıdır; her iki durumda da hesap makinesi bir hata bildirir. $P(A \mid B)$ ile $P(B \mid A)$ değerlerinin genellikle farklı olduğunu ve birinden diğerine geçmenin aracının Bayes formülü olduğunu unutmayın.

Binom olasılığı formülü

Bernoulli denemeleri, her birinde başarı olasılığının aynı, $p$ , olduğu $n$ bağımsız denemedir. Tam olarak $k$ başarının olasılığı, bunları yerleştirme yollarının sayısı olan $\binom{n}{k}$ ile böyle herhangi bir yerleşimin olasılığının çarpımıdır. Başarı sayısının $k$ değerine göre «en çok», «en az», «daha az» veya «daha fazla» olduğu durumlarda hesap makinesi ilgili terimleri toplar ve hangilerini topladığını belirtir.

Örneğin hilesiz bir parayla 10 atışta en az 8 kez tura gelme olasılığı $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ olur. Hesap makinesi ayrıca dağılımın beklenen değeri $np$ ile standart sapması $\sqrt{np(1-p)}$ değerini de verir.

Sık yapılan hatalar

Bağımlı olayların olasılıklarını çarpmak.
Kesişimin olasılığını çıkarmadan $P(A)$ ile $P(B)$ değerlerini toplamak; bu yüzden toplam 1'i aşabilir.
$P(A \mid B)$ ile $P(B \mid A)$ değerlerini karıştırmak.
Eşit olasılıklı olmayan sonuçları eşit saymak, örneğin iki zarda 2 ile 12 arasındaki toplamları eşit olasılıklı kabul etmek.
Bahis oranını olasılıkla karıştırmak: 1 : 5 bahis oranı $\frac16$ olasılığına karşılık gelir.

İpuçları

«En az biri» türündeki sorularda tümleyen olayı kullanın: $1 - P(\text{hiçbiri})$ genellikle daha hızlıdır.
Küçük problemlerde hesaplamadan önce örnek uzayını yazın veya bir olasılık ağacı çizin.
Tam cevap almak için olasılıkları kesir olarak yazın.
Tüm cevapların 0 ile 1 arasında olduğunu kontrol edin.
Bölmeden önce sonuçları saymak için permütasyon ve kombinasyon hesap makinesini kullanın.

Sıkça sorulan sorular

Bir olayın olasılığı nasıl bulunur?

Elverişli sonuçların sayısını eşit olasılıklı sonuçların toplam sayısına bölün. İki zarda toplamın 7 olması için 6 ÷ 36 = 1/6 bulunur.

İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı nasıl bulunur?

Olasılıklarını çarpın. P(A) = 0,5 ve P(B) = 0,3 olduğunda iki olay birlikte 0,15 olasılıkla gerçekleşir.

Koşullu olasılık nedir?

B gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığıdır: P(A | B) = P(A ve B) ÷ P(B). Yalnızca B olayının gerçekleştiği sonuçlar dikkate alınır.

Binom modu ne zaman kullanılır?

Rastgele deneyde sabit sayıda bağımsız deneme varsa, her birinin iki olası sonucu ve aynı başarı olasılığı bulunuyorsa ve sizden belirli sayıda başarının olasılığı isteniyorsa.

Yüzde veya kesir girilebilir mi?

Evet. Olasılıklar ondalık sayı (0,25), kesir (1/4) veya yüzde (%25) olarak verilebilir. Tek olay modunda adetler tam sayı olmalıdır.

Bahis oranı olasılıktan nasıl farklıdır?

Olasılık elverişli sonuçları tüm sonuçlarla, bahis oranı ise elverişli sonuçları elverişsiz sonuçlarla karşılaştırır. 1/6 olasılığına olay lehine 1 : 5 bahis oranı karşılık gelir.

Binom probleminde «en az» olasılığı nasıl bulunur?

«P(X ≥ k) en az k» seçeneğini seçin. Hesap makinesi k'den n'ye kadar olasılıkları toplar ve hangi terimleri topladığını gösterir.

Olasılık hesap makinesini deneyin

Problem türünü seçin; tam olasılığı, yüzdeyi ve her adımın açıklamasını alın.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Olasılık hesap makinesi hakkında

Olasılık nedir?

Olasılık hesap makinesi nasıl kullanılır?

Formüller

Klasik olasılık tanımı

Bağımsız olaylar

Koşullu olasılık

Binom olasılığı formülü

Çözümlü örnek: İki zar: P(toplam 7) = 6/36

Sonuç

Probleminizi nasıl okuduk

Adım adım çözüm

Kullanılan formüller

Ayrıntılı açıklama

Bağımsız olaylar ve toplama kuralı

Koşullu olasılık

Binom olasılığı formülü

Sık yapılan hatalar

İpuçları

Sıkça sorulan sorular

Bir olayın olasılığı nasıl bulunur?

İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı nasıl bulunur?

Koşullu olasılık nedir?

Binom modu ne zaman kullanılır?

Yüzde veya kesir girilebilir mi?

Bahis oranı olasılıktan nasıl farklıdır?

Binom probleminde «en az» olasılığı nasıl bulunur?

Olasılık hesap makinesini deneyin

Diğer matematik hesap makineleri