Olasılık Kuramının Temelleri: Uygulamalı Bir Giriş

Çıktılar, olaylar ve olasılık ölçeği

Olasılık kuramı, zar atmak gibi rastgele bir deneyle ve onun örnek uzayıyla, yani tüm olası çıktıların kümesiyle başlar. Sıradan bir oyun zarı atıldığında bu küme $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. Olay, çıktıların herhangi bir kümesidir; örneğin çift sayı gelmesi, yani $\{2, 4, 6\}$ kümesi.

Her olasılık 0 ile 1 arasındadır. 0 olasılığı olayın imkânsız olduğu, 1 kesin olduğu, 0,5 ise gerçekleşme şansının gerçekleşmeme şansına eşit olduğu anlamına gelir. Olasılıklar kesir, ondalık sayı ya da yüzde olarak yazılabilir: $\frac{1}{4}$, 0,25 ve yüzde 25 aynı şeyi ifade eder. Tüm çıktılar eşit olasılıklıysa bir olayın olasılığı basit bir orandır:

Başka bir deyişle, istenen çıktıların sayısının tüm olası çıktıların sayısına bölümüdür; buna olasılığın klasik tanımı denir. Bu yüzden çift sayı atma olasılığı $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$'dir. İki zarla eşit olasılıklı $6 \times 6 = 36$ sıralı çıktı vardır ve bunların altısı toplam 7 verir: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) ve (6,1); bu yüzden $P(\text{toplam} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Daha büyük problemlerde çıktıları saymak için kombinatorik yöntemleri kullanılır.

Tümleyen olay kuralı

$A$ olayının tümleyeni, $A$'ya dahil olmayan her şeyi içerir. İkisinden biri mutlaka gerçekleştiği için olasılıklarının toplamı 1'dir:

Problemde «en az bir» ifadesi geçtiğinde önce tümleyen olayı deneyin. Uzun bir hesabı neredeyse her zaman kısa bir hesaba dönüştürür.

Birleşimin olasılığı: A veya B

$A$'nın veya $B$'nin ya da ikisinin birden gerçekleşme olasılığı, olasılıklarını toplayıp aksi hâlde iki kez sayılacak olan kesişimin olasılığını çıkararak bulunur:

52 kartlık bir desteden bir kart çekilirse kupa ya da papaz gelme olasılığı $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$'tür, çünkü kupa papazı iki gruba da girer. Tek bir atışta 2 ve 5 gelmesi gibi aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olaylar denir. Kesişimleri boştur; bu yüzden olasılıkları doğrudan toplanır.

Kesişimin olasılığı: A ve B

Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır; ayrı ayrı yapılan yazı tura atışlarında olduğu gibi. Bağımsız olaylar için olasılıklar çarpılır:

Bu yüzden iki atışta iki kez tura gelme olasılığı $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$'tür. Olaylar bağımlıysa ikinci olasılık daha önce olanları hesaba katmalıdır. Geri koymadan iki kart çekilirse iki as gelme olasılığı $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$'dir, çünkü bir as çekildikten sonra kalan 51 kartın içinde yalnızca 3 as vardır.

Koşullu olasılık ve Bayes formülü

Koşullu olasılık, $B$'nin gerçekleştiği bilindiğinde $A$'nın olasılığıdır ve $P(A \mid B)$ ile gösterilir. $B$'nin gerçekleştiğini bilmek örnek uzayı $B$'ye daraltır:

Bayes formülü koşullu olasılığı tersine çevirir ve $P(B \mid A)$'yı $P(A \mid B)$'ye dönüştürür. En bilinen uygulaması, pozitif bir tıbbi test sonucunun neden göründüğünden daha az endişe verici olabileceğini gösterir.

Beklenen değer

Bir oyunun ya da rastgele değişkenin beklenen değeri, uzun vadedeki ortalama sonuçtur; her çıktı kendi olasılığıyla çarpılıp hepsi toplanarak bulunur:

Bir oyunun, zarda altı gelirse 10 dolar ödediğini, diğer durumlarda ise 2 dolara mal olduğunu varsayalım. Beklenen değer $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$'dır: oyun adildir ve çok sayıda turdan sonra başa baş kalmayı bekleyebilirsiniz. Kumarhane oyunları, oyuncu için beklenen değer hafifçe negatif olacak şekilde tasarlanır; bu yüzden bazı oyuncular zaman zaman kazansa da kumarhaneler milyonlarca bahisten para kazanır. Sigortacılık aynı ilkeyi öbür taraftan izler: sigortacı primlerle ödemeyi beklediğinden biraz daha fazlasını toplar.

Tipik tuzaklar

• Kumarbaz yanılgısı: adil bir rulette üst üste beş kırmızıdan sonra siyahın gelmesi «gerekmez». Her dönüş bağımsızdır; bu yüzden olasılık değişmez.
• Kesişen olayların olasılıklarını kesişimi çıkarmadan toplamak; bu 1'den büyük bir olasılık verebilir.
• Bağımsız olmayan olayların olasılıklarını çarpmak.
• Tıbbi test örneğinde olduğu gibi $P(A \mid B)$ ile $P(B \mid A)$'yı karıştırmak.
• Rastlantıları küçümsemek: yalnızca 23 kişilik bir grupta iki kişinin doğum gününün aynı gün olma olasılığı yaklaşık yüzde 50,7'dir.

Büyük sayılar yasası, olasılığın gerçekte neyi garanti ettiğini açıklar: deney çok sayıda tekrarlandığında bir olayın göreli sıklığı onun olasılığı civarında dengelenir. Kısa bir çıktı dizisi hakkında ise hiçbir şey vaat etmez. Olasılık hesap makinesi basit, bileşik ve koşullu olayları adım adım çözer; permütasyon ve kombinasyon hesap makinesi ise birçok olasılık probleminde gereken çıktıları sayar.

Çok adımlı problemler için olasılık ağaçları

Deney birkaç aşamada gerçekleşiyorsa olasılık ağacı hiçbir yolu atlamamaya yardımcı olur. Her dalın üzerine olasılığını yazın, dizinin tamamının olasılığını bulmak için yol boyunca çarpın ve istenen olayı oluşturan yolları toplayın.

Ağaçlar yol kurallarını görünür kılar ve olasılıkların aşamadan aşamaya nerede değiştiğini açıkça gösterir. Ayrıca Bayes formülü problemlerini kurmanın en güvenilir yoludur, çünkü ikinci aşamadaki her dal bir koşullu olasılıktır.

Sıkça sorulan sorular