Çözümlü Örneklerle Z-Skoru

Z-skoru neyi ölçer?

Ham puan tek başına pek bir şey söylemez. Bir sınavdan 85 puan iyi görünür, ama diğer herkes 95 aldıysa aslında zayıf bir sonuçtur. Z-skoru, ya da standart puan, değeri kendi grubuna göre değerlendirerek bu sorunu çözer. Tek bir soruyu yanıtlar: bu değer ortalamadan kaç standart sapma uzaktadır?

Burada $x$ değer, $\mu$ ortalama, $\sigma$ ise standart sapmadır. Pozitif bir z-skoru değerin ortalamanın üstünde, negatif bir z-skoru altında olduğu, sıfır ise tam olarak ortalamaya eşit olduğu anlamına gelir. 2 olan bir z-skoru ortalamanın iki standart sapma üstü demektir ve çoğu veri kümesi için alışılmadık derecede yüksektir. Standart sapmanın kendisinin nasıl hesaplandığını standart sapma nasıl hesaplanır makalesinde okuyun.

Z-skorunu adım adım hesaplamak

Pay ve payda başlangıçtaki birimlerle ifade edildiğinden ölçü birimleri her zaman sadeleşir. Z-skorlarını birimsiz ve birbirinden tamamen farklı büyüklükler arasında karşılaştırılabilir kılan da tam olarak budur.

Farklı ölçeklerdeki sonuçları karşılaştırmak

Z-skorlarının en pratik kullanımı adil karşılaştırmadır. Bir öğrencinin, ortalaması 75 ve standart sapması 5 olan kimyadan 82, ortalaması 80 ve standart sapması 8 olan tarihten 88 aldığını varsayalım. Tarih puanı daha yüksek, ama hangi sonuç daha etkileyici?

Diğer öğrencilerle karşılaştırıldığında kimya sonucu daha iyidir: 1,0'a karşı ortalamanın 1,4 standart sapma üstü. Aynı fikir araştırmacıların farklı cihazların ölçümlerini, analistlerin de bir şirketin göstergelerini tipik değerleri çok farklı olan sektörlerle karşılaştırmasını sağlar.

Z-skorundan başlangıç değerine geri dönmek

Formül ters yönde çözülürse verilen bir z-skoruna karşılık gelen başlangıç değeri elde edilir:

Ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan sınav için $-1.2$ z-skoru $70 + (-1.2)(10) = 58$ değerine karşılık gelir. Bu biçim eşik değerleri belirlemek için kullanışlıdır; örneğin aşağıdaki Örnek 4'ün gösterdiği gibi, bir öğrencinin en iyi yüzde 10'a girmek için kaç puana ihtiyaç duyduğunu bulmak için.

Z-skorlarından yüzdeliklere

Veriler normal dağılıma, yani Gauss'un çan eğrisine uyuyorsa z-skoru bir yüzdeliğe, yani altında kalan değerlerin oranına çevrilebilir. Standart normal dağılımın ortalaması 0, standart sapması 1'dir ve $\Phi(z)$ ile gösterilen dağılım fonksiyonu bu oranı verir. Birkaç referans değeri akılda tutmaya değer:

• $\Phi(0) = 0.5$: ortalama 50. yüzdeliğe karşılık gelir.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ ve $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: demek ki Örnek 1'deki öğrenci sınıfın yaklaşık yüzde 93'ünü geride bırakmıştır.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: demek ki Örnek 2'deki öğrenci yaklaşık 21. yüzdeliktedir.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$; bu yüzden 1,96 değeri yüzde 95'lik güven aralıklarında karşımıza çıkar.

Deneysel kural çan eğrisini özetler: değerlerin yaklaşık yüzde 68'i ortalamaya bir standart sapmadan, yaklaşık yüzde 95'i iki standart sapmadan ve yaklaşık yüzde 99,7'si üç standart sapmadan daha yakındır. Bu yüzden $|z| > 3$ olan değerler nadirdir ve çoğu zaman olası aykırı değerler olarak incelenir.

Örneklem ortalamaları için z-skorları

Ortalamalar tek tek değerlerden daha az dalgalanır. Ortalaması $\mu$ ve standart sapması $\sigma$ olan bir anakütleden $n$ büyüklüğünde örneklemler alınırsa örneklem ortalamasının standart sapması, standart hata denen $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$'dir. Örneklem ortalamasının z-skoru şudur:

Örneğin yukarıdaki sınava giren 25 öğrencinin ortalaması 73 ise standart hata $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$, $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$ olur. Üç puan fazlası tek bir öğrenci için olağan bir durumdur, ama 25 öğrencinin ortalaması için oldukça alışılmadıktır. Bu formül, giriş düzeyindeki istatistik derslerinde z-testlerinin ve güven aralıklarının çıkış noktasıdır.

Z-skorlarıyla çalışırken nelere dikkat edilmeli?

• Z-skorlarını $\Phi$ ile yüzdeliklere çevirmek yalnızca veriler yaklaşık normal dağılıyorsa geçerlidir. Gelirler gibi belirgin biçimde çarpık verilerde yüzdelikleri doğrudan verilerden bulmak daha iyidir.
• Biliniyorsa anakütle standart sapmasını, aksi hâlde kestirim olarak örneklem standart sapmasını kullanın; küçük örneklemlerde Student t dağılımına geçmek gerekir.
• Z-skoru grup içindeki konumu betimler. Düzeyleri çok farklı gruplardan alınan z-skorlarını karşılaştırmak yine de yanıltıcı olabilir.
• İşareti koruyun. $-2$ ve $2$ z-skorları eşit derecede alışılmadıktır, ama zıt anlamlar taşır.

Z-skoru hesap makinesi z-skorlarını, yüzdelikleri ve iki değer arasındaki alanı bulur; standart sapma hesap makinesi ise gereken ortalamayı ve standart sapmayı önceden size verir.

Z-skorları uygulamada nerede karşımıza çıkar?

Standart sınav raporlarında ham puanlar çoğu zaman z-skoruyla aynı fikre dayanan standart puanlara ya da yüzdeliklere çevrilir. Çocuk doktorları bir çocuğun boyunu ve kilosunu büyüme eğrileriyle izler; bazı klinik araçlar bu göstergeleri doğrudan çocuğun yaşına göre z-skorları olarak verir. Kemik yoğunluğu ölçümü, sağlıklı genç yetişkinlere göre hesaplanmış bir z-skoru olan T-skorunu verir. Kalite mühendisleri boyutları nominal değerden üç standart sapmadan fazla sapan parçaları işaretler, finans analistleri de farklı risklere sahip fonları aynı ölçekte karşılaştırmak için getirileri standartlaştırır.

Alıştırmalar

1. Bir veri kümesinin ortalaması 50, standart sapması 4'tür. 56 değerinin z-skorunu bulun. Çözüm: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Sınav sonuçlarının ortalaması 100, standart sapması 15'tir. Hangi değer $z = -2$'ye karşılık gelir? Çözüm: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Değerler ortalaması 500 ve standart sapması 100 olan normal bir dağılıma uyuyor. Hangi oran 650'nin altındadır? Çözüm: $z = 1.5$, yani yaklaşık $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, ya da yüzde 93.

Sıkça sorulan sorular