不定积分微积分大学≈ 1:13

(x + 1)/x 的原函数

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章节

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
$\int \frac{x+1}{x}\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. $\int \frac{x+1}{x}\,dx$
  写出积分
2. $\frac{x+1}{x} = \frac{1}{x}+1$
  分子每一项除以分母
3. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  倒数法则：∫ 1/x dx = ln|x|
4. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  常数倍法则：∫ k·f dx = k∫ f dx
3. 步骤，第2部分
1. $\int {x}^{0}\,dx = x$
  幂函数积分法则：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
2. $\int 1{x}^{0}\,dx = x$
  常数倍法则：∫ k·f dx = k∫ f dx
3. $\int 1{x}^{-1}+1{x}^{0}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x$
  和法则：逐项积分
4. $\int \frac{x+1}{x}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
  化简并加上积分常数
4. 答案
$\ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
∫ (x + 1) / x dx = ln(abs(x)) + x + C
5. 检验
- 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较 ✓

题目. 题目是：(x 加 1)/x 的原函数. 求 (x 加 1) / x 关于 x 的不定积分（原函数）。

步骤，第1部分. 写出积分. 分子每一项除以分母. 倒数法则：积分 1/x dx 等于 ln|x|. 常数倍法则：积分 k 乘 f dx 等于 k 积分 f dx.

步骤，第2部分. 幂函数积分法则：积分 x 的 n 次方 dx 等于 x 的 n 加 1 次方/(n 加 1). 常数倍法则：积分 k 乘 f dx 等于 k 积分 f dx. 和法则：逐项积分. 化简并加上积分常数.

答案. 所以答案是 ln(abs(x)) 加 x 加 C. 原函数 F 满足 F 的导数等于 f(x)。因为任何常数的导数都是 0，所有原函数之间只相差一个常数 C。

检验. 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较，验证成立.