定积分微积分大学≈ 1:18

e^(-2x) 从 0 到 ∞ 的定积分

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
$\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. 这是一个反常积分
2. $\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$
  指数法则：∫ eᵘ du = eᵘ （除以内部斜率）
3. $F(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$
  原函数
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5$
  计算从 0 到 inf 的那一段
3. 步骤，第2部分
1. $\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5$
  把各段相加
4. 答案
$\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5$
Converges to 1/2 ≈ 0.5
5. 检验
- 已通过求导验证原函数 ✓
- 原函数的每个极限都已由极限引擎计算并进行了数值检验 ✓
- 截断后的数值估计（在渐近线附近留出 10⁻⁶，无穷积分限截断于 ±1000）：0.5

题目. 题目是：e 的负 2x 次方从 0 到无穷大的定积分. 计算 e 的负 2 次方 x) 从 0 到 inf 的反常积分。

步骤，第1部分. 这是一个反常积分. 它是反常积分，因为有一个积分限是无穷。它定义为一个极限，只有当每个极限都有限时才收敛。指数法则：积分 eᵘ du 等于 eᵘ （除以内部斜率）. 原函数. 计算从 0 到 inf 的那一段.

步骤，第2部分. 把各段相加. 每个极限都有限，所以积分收敛。

答案. 所以答案是收敛: 1 除以 2 约等于 0.5. 反常积分把出问题的点换成一个变量，按通常方法积分，再取极限。极限有限，就说明这个无限区域的面积仍然有限。

检验. 已通过求导验证原函数，验证成立. 原函数的每个极限都已由极限引擎计算并进行了数值检验，验证成立. 截断后的数值估计（在渐近线附近留出 10 的减 6 次方，无穷积分限截断于正负 1000）：0.5.