极限微积分大学≈ 2:19

求 lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}$
2. 步骤，第1部分
1. $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}$
  化简
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
4. $\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)$
  化简
3. 步骤，第2部分
1. $\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2$
  直接代入
4. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2$
lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2
5. 检验
- 从右侧趋近的数值：f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002（在此精度下无明显趋势）
- 从左侧趋近的数值：f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002（在此精度下无明显趋势）

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (1 减 cos(2x))/x 的平方. 求 (1 减 cos(2x)) / x 的平方当 x → 0 时的极限。

步骤，第1部分. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简.

步骤，第2部分. 直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 2. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 从右侧趋近的数值：f(0.01) 等于 1.9999333, f(0.001) 等于 1.9999993, f(0.0001) 等于 2, f(0.00001) 等于 2.0000002（在此精度下无明显趋势）. 从左侧趋近的数值：f(负 0.01) 等于 1.9999333, f(负 0.001) 等于 1.9999993, f(负 0.0001) 等于 2, f(负 0.00001) 等于 2.0000002（在此精度下无明显趋势）.

屏幕上的步骤

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