极限微积分大学≈ 2:18

求 lim x→0 (1-cos(3x))/x²

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin\left(3x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)}{2} = \frac{9\cos\left(3\left(0\right)\right)}{2} = \frac{9}{2} \approx 4.5$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(3x\right)}{{x}^{2}} = \frac{9}{2} \approx 4.5$
lim x→0 (1 - cos(3x)) / x² = 9/2 ≈ 4.5
4. 检验
- 右侧的数值结果一致：f(0.01) = 4.4996625, f(0.001) = 4.4999966, f(0.0001) = 4.5, f(0.00001) = 4.5000004 ✓
- 左侧的数值结果一致：f(-0.01) = 4.4996625, f(-0.001) = 4.4999966, f(-0.0001) = 4.5, f(-0.00001) = 4.5000004 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (1-cos(3x))/x 的平方. 求 (1 减 cos(3x)) / x 的平方当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 9 除以 2 约等于 4.5. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 右侧的数值结果一致：f(0.01) 等于 4.4996625, f(0.001) 等于 4.4999966, f(0.0001) 等于 4.5, f(0.00001) 等于 4.5000004，验证成立. 左侧的数值结果一致：f(负 0.01) 等于 4.4996625, f(负 0.001) 等于 4.4999966, f(负 0.0001) 等于 4.5, f(负 0.00001) 等于 4.5000004，验证成立.

屏幕上的步骤

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