极限微积分大学≈ 2:25

求 lim x→0 ln(1+3x)/x

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1}$
  化简
3. $\lim_{x \to 0} \frac{3}{3x+1} = \frac{3}{3\left(0\right)+1} = 3$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+3x\right)}{x} = 3$
lim x→0 ln(1 + 3 x) / x = 3
4. 检验
- 从右侧趋近的数值：f(0.01) = 2.9558802, f(0.001) = 2.995509, f(0.0001) = 2.9995501, f(0.00001) = 2.999955（在此精度下无明显趋势）
- 从左侧趋近的数值：f(-0.01) = 3.0459207, f(-0.001) = 3.004509, f(-0.0001) = 3.0004501, f(-0.00001) = 3.000045（在此精度下无明显趋势）

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 ln(1 加 3x)/x. 求 ln(1 加 3 x) / x 当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简. 直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 3. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 从右侧趋近的数值：f(0.01) 等于 2.9558802, f(0.001) 等于 2.995509, f(0.0001) 等于 2.9995501, f(0.00001) 等于 2.999955（在此精度下无明显趋势）. 从左侧趋近的数值：f(负 0.01) 等于 3.0459207, f(负 0.001) 等于 3.004509, f(负 0.0001) 等于 3.0004501, f(负 0.00001) 等于 3.000045（在此精度下无明显趋势）.

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