极限微积分大学≈ 2:28

求 lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
4. $\lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6} = \frac{4 {\tan\left(0\right)}^{2} {\sec\left(0\right)}^{2}+2 {\sec\left(0\right)}^{4}+\cos\left(0\right)}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \frac{1}{2} \approx 0.5$
lim x→0 (tan(x) - sin(x)) / x³ = 1/2 ≈ 0.5
4. 检验
- 从右侧趋近的数值：f(0.01) = 0.5000125, f(0.001) = 0.50000013, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000016（在此精度下无明显趋势）
- 从左侧趋近的数值：f(-0.01) = 0.5000125, f(-0.001) = 0.50000013, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000016（在此精度下无明显趋势）

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (tan(x) 减 sin(x))/x 的立方. 求 (tan(x) 减 sin(x)) / x 的立方当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 1 除以 2 约等于 0.5. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 从右侧趋近的数值：f(0.01) 等于 0.5000125, f(0.001) 等于 0.50000013, f(0.0001) 等于 0.5, f(0.00001) 等于 0.50000016（在此精度下无明显趋势）. 从左侧趋近的数值：f(负 0.01) 等于 0.5000125, f(负 0.001) 等于 0.50000013, f(负 0.0001) 等于 0.5, f(负 0.00001) 等于 0.50000016（在此精度下无明显趋势）.

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