极限微积分大学≈ 2:20

求 lim x→∞ (1+3/x)ˣ

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x}$
2. 步骤，第1部分
1. $\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right)\right]}$
  未定式 1^∞：取对数
2. $\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$
  未定式 0·∞：改写成商
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1}$
  化简
3. 步骤，第2部分
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{3}{3\mathrm{t}+1} = 3$
  代入 x = 1/t (t → 0⁺)
2. $\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{3} = {e}^{3}$
  对结果取指数
4. 答案
$\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = {e}^{3} \approx 20.08553692$
lim x→∞ (1 + 3 / x)^x = e³ ≈ 20.08553692
5. 检验
- 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) = 19.397896, f(1271.8281) = 20.014707, f(12718.281) = 20.078433, f(127182.81) = 20.084826 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于无穷大 (1 加 3/x) 的 x 次方. 求 (1 加 3 / x) 的 x 次方当 x → ∞ 时的极限。

步骤，第1部分. 未定式 1^∞：取对数. 把幂写成 e^(指数乘 ln 底数)；由于 eᵘ 连续，极限等于 e 的指数极限次幂。未定式 0 乘 ∞：改写成商. 把一个因子以倒数形式移到分母，就把 0 乘 ∞ 变成 0 除以 0 或 ∞/∞。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简.

步骤，第2部分. 代入 x 等于 1/t (t → 0 的加次方). 对结果取指数.

答案. 所以答案是极限等于 e 的立方约等于 20.08553692. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) 等于 19.397896, f(1271.8281) 等于 20.014707, f(12718.281) 等于 20.078433, f(127182.81) 等于 20.084826，验证成立.

屏幕上的步骤

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