极限微积分大学≈ 1:50

求 lim x→∞ x sin(1/x)

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$
  未定式 0·∞：改写成商
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right)$
  化简
4. $\lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \cos\left(\mathrm{t}\right) = 1$
  代入 x = 1/t (t → 0⁺)
3. 答案
$\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1$
lim x→∞ x sin(1 / x) = 1
4. 检验
- 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) = 0.9999897, f(1271.8281) = 0.9999999, f(12718.281) = 1, f(127182.81) = 1 ✓

题目. 题目是：求 lim x- 大于无穷大 x sin(1/x). 求 x sin(1 / x) 当 x → ∞ 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 乘 ∞：改写成商. 把一个因子以倒数形式移到分母，就把 0 乘 ∞ 变成 0 除以 0 或 ∞/∞。未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简. 代入 x 等于 1/t (t → 0 的加次方).

答案. 所以答案是极限等于 1. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) 等于 0.9999897, f(1271.8281) 等于 0.9999999, f(12718.281) 等于 1, f(127182.81) 等于 1，验证成立.