向量线性代数大学≈ 0:43

求 ⟨5, 2, -1⟩ 和 ⟨1, -3, 4⟩ 的点积及夹角

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原题（英语）：求 ⟨5, 2, -1⟩ 和 ⟨1, -3, 4⟩ 的点积及夹角

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 ⟨5, 2, -1⟩ 和 ⟨1, -3, 4⟩ 的点积及夹角
2. 步骤，第1部分
1. $(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)$
  将对应分量相乘
2. $u v = 5 - 6 - 4 = -5$
  把乘积相加
3. $|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514$
  求向量的模
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ rad})$
  两向量的夹角
3. 步骤，第2部分
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle$
  u 在 v 上的标量投影与向量投影
4. 答案
$u v = -5$
u·v = -5
5. 检验
- 精确计算；点积满足交换律，所以 v·u 得到相同的值。

题目. 题目是：求 ⟨5, 2, 负 1⟩ 和 ⟨1, 负 3, 4⟩ 的点积及夹角. 两个 3 维向量的点积。

步骤，第1部分. 将对应分量相乘. 把乘积相加. 求向量的模. 两向量的夹角.

步骤，第2部分. u 在 v 上的标量投影与向量投影.

答案. 所以答案是 u 乘 v 等于负 5, 角约等于 100.31319°. 点积为负，所以两向量的夹角为钝角。

检验. 精确计算；点积满足交换律，所以 v 乘 u 得到相同的值。