向量线性代数大学≈ 0:42

求 ⟨2, -1⟩ 和 ⟨1, 3⟩ 的点积及夹角

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原题（英语）：求 ⟨2, -1⟩ 和 ⟨1, 3⟩ 的点积及夹角

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 ⟨2, -1⟩ 和 ⟨1, 3⟩ 的点积及夹角
2. 步骤，第1部分
1. $(2)(1) + (-1)(3)$
  将对应分量相乘
2. $u v = 2 - 3 = -1$
  把乘积相加
3. $|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766$
  求向量的模
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ rad})$
  两向量的夹角
3. 步骤，第2部分
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle$
  u 在 v 上的标量投影与向量投影
4. 答案
$u v = -1$
u·v = -1
5. 检验
- 精确计算；点积满足交换律，所以 v·u 得到相同的值。

题目. 题目是：求 ⟨2, 负 1⟩ 和 ⟨1, 3⟩ 的点积及夹角. 两个 2 维向量的点积。

步骤，第1部分. 将对应分量相乘. 把乘积相加. 求向量的模. 两向量的夹角.

步骤，第2部分. u 在 v 上的标量投影与向量投影.

答案. 所以答案是 u 乘 v 等于负 1, 角约等于 98.130102°. 点积为负，所以两向量的夹角为钝角。

检验. 精确计算；点积满足交换律，所以 v 乘 u 得到相同的值。