向量线性代数大学≈ 0:41

求 ⟨1, 0, 1⟩ 和 ⟨0, 1, 1⟩ 的点积及夹角

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: u · v = 1, 角 ≈ 60°.

倍速语言

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

原题（英语）：求 ⟨1, 0, 1⟩ 和 ⟨0, 1, 1⟩ 的点积及夹角

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 ⟨1, 0, 1⟩ 和 ⟨0, 1, 1⟩ 的点积及夹角
2. 步骤，第1部分
1. $(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)$
  将对应分量相乘
2. $u v = 0 + 0 + 1 = 1$
  把乘积相加
3. $|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562$
  求向量的模
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ rad})$
  两向量的夹角
3. 步骤，第2部分
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle$
  u 在 v 上的标量投影与向量投影
4. 答案
$u v = 1$
u·v = 1
5. 检验
- 精确计算；点积满足交换律，所以 v·u 得到相同的值。

题目. 题目是：求 ⟨1, 0, 1⟩ 和 ⟨0, 1, 1⟩ 的点积及夹角. 两个 3 维向量的点积。

步骤，第1部分. 将对应分量相乘. 把乘积相加. 求向量的模. 两向量的夹角.

步骤，第2部分. u 在 v 上的标量投影与向量投影.

答案. 所以答案是 u 乘 v 等于 1, 角约等于 60°. 点积为正，所以两向量的夹角为锐角。

检验. 精确计算；点积满足交换律，所以 v 乘 u 得到相同的值。