向量线性代数大学≈ 0:43

求 ⟨1, 2, 3⟩ 和 ⟨4, -5, 6⟩ 的点积及夹角

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原题（英语）：求 ⟨1, 2, 3⟩ 和 ⟨4, -5, 6⟩ 的点积及夹角

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 ⟨1, 2, 3⟩ 和 ⟨4, -5, 6⟩ 的点积及夹角
2. 步骤，第1部分
1. $(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
  将对应分量相乘
2. $u v = 4 - 10 + 18 = 12$
  把乘积相加
3. $|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
  求向量的模
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
  两向量的夹角
3. 步骤，第2部分
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$
  u 在 v 上的标量投影与向量投影
4. 答案
$u v = 12$
u·v = 12
5. 检验
- 精确计算；点积满足交换律，所以 v·u 得到相同的值。

题目. 题目是：求 ⟨1, 2, 3⟩ 和 ⟨4, 负 5, 6⟩ 的点积及夹角. 两个 3 维向量的点积。

步骤，第1部分. 将对应分量相乘. 把乘积相加. 求向量的模. 两向量的夹角.

步骤，第2部分. u 在 v 上的标量投影与向量投影.

答案. 所以答案是 u 乘 v 等于 12, 角约等于 68.562447°. 点积为正，所以两向量的夹角为锐角。

检验. 精确计算；点积满足交换律，所以 v 乘 u 得到相同的值。