不定积分微积分大学≈ 0:59

对 x √(x² + 1) 积分

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: (x² + 1)^(3/2) / 3 + C.

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. $\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx$
  写出积分
2. $\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du$
  代入 u = x² + 1，所以 du = (2x) dx
3. $\int \sqrt{u}\,du = \frac{{u}^{\frac{3}{2}}\cdot2}{3}$
  ∫ √u du = (2/3)u^(3/2)
4. $\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$
  回代 u = x² + 1
3. 步骤，第2部分
1. $\int x \sqrt{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$
  化简并加上积分常数
4. 答案
$\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$
∫ x sqrt(x² + 1) dx = (x² + 1)^(3/2) / 3 + C
5. 检验
- 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较 ✓

题目. 题目是：对 x sqrt(x 的平方加 1) 积分. 求 x sqrt(x 的平方加 1) 关于 x 的不定积分（原函数）。

步骤，第1部分. 写出积分. 代入 u 等于 x 的平方加 1，所以 du 等于 (2x) dx. 积分根号 u du 等于 (2 除以 3)u 的 3 次方/2). 回代 u 等于 x 的平方加 1.

步骤，第2部分. 化简并加上积分常数.

答案. 所以答案是 (x 的平方加 1) 的 3 次方/2) / 3 加 C. 原函数 F 满足 F 的导数等于 f(x)。因为任何常数的导数都是 0，所有原函数之间只相差一个常数 C。

检验. 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较，验证成立.