矩阵线性代数大学≈ 0:49

[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] 的逆矩阵

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{bmatrix}^{-1}$
2. 步骤，第1部分
1. $\det A = 1 \neq 0$
  检查行列式不为零
2. $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  写出增广矩阵 [A | I]
3. $R_{3} \to R_{3} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  用 R1 中的主元消去 1 列
4. $R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}$
  用 R2 中的主元消去 2 列
3. 步骤，第2部分
1. $R_{1} \to R_{1} + 5R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 4R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1\end{bmatrix}$
  用 R3 中的主元消去 3 列
2. $A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}$
  右半部分现在就是逆矩阵
3. $A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  验证：A·A⁻¹ = I
4. 答案
$A^{-1} = \begin{bmatrix}-24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1\end{bmatrix}$
A⁻¹ = [[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]
5. 检验
- 用 A 乘以结果，恰好得到单位矩阵。

题目. 题目是：[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] 的逆矩阵. 求 3 乘 3 矩阵的逆矩阵。

步骤，第1部分. 检查行列式不为零. 写出增广矩阵 [A | I]. 用 R1 中的主元消去 1 列. 用 R2 中的主元消去 2 列.

步骤，第2部分. 用 R3 中的主元消去 3 列. 右半部分现在就是逆矩阵. 验证：A 乘 A 的减 1 次方等于 I.

答案. 所以答案是 A 的减 1 次方等于 [[-24, 18, 5], [20, 负 15, 负 4], [-5, 4, 1]]. 行列式为 1，所以 A 可逆。逆矩阵的每个元素都是精确值。

检验. 用 A 乘以结果，恰好得到单位矩阵。