矩阵线性代数大学≈ 0:44

[[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]] 的逆矩阵

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]].

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{-1}$
2. 步骤，第1部分
1. $\det A = 24 \neq 0$
  检查行列式不为零
2. $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  写出增广矩阵 [A | I]
3. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  R1 除以 2
4. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  R2 除以 3
3. 步骤，第2部分
1. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  R3 除以 4
2. $A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  右半部分现在就是逆矩阵
3. $A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  验证：A·A⁻¹ = I
4. 答案
$A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]]
5. 检验
- 用 A 乘以结果，恰好得到单位矩阵。

题目. 题目是：[[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]] 的逆矩阵. 求 3 乘 3 矩阵的逆矩阵。

步骤，第1部分. 检查行列式不为零. 写出增广矩阵 [A | I]. R1 除以 2. R2 除以 3.

步骤，第2部分. R3 除以 4. 右半部分现在就是逆矩阵. 验证：A 乘 A 的减 1 次方等于 I.

答案. 所以答案是 A 的减 1 次方等于 [[1 除以 2, 0, 0], [0, 1 除以 3, 0], [0, 0, 1 除以 4]]. 行列式为 24，所以 A 可逆。逆矩阵的每个元素都是精确值。

检验. 用 A 乘以结果，恰好得到单位矩阵。