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方程组代数高中≈ 1:27

解方程组 - 2y - 2z = 2, 2x + 2y - 3z = -14, 2y + 3z = 0

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。 答案: x = -1, y = -3, z = 2.

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

英语视频： 下载 MP4 (0.6 MB) · 字幕 (WebVTT)：中文 · 英语字幕 (WebVTT)

屏幕上的步骤

  1. 1. 题目
    例题讲解
    {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y-2z = 2 \\ 2x+2y-3z = -14 \\ 2y+3z = 0 \end{cases}
  2. 2. 步骤，第1部分
    1. {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y - 2z = 2 \\ 2x + 2y - 3z = -14 \\ 2y + 3z = 0 \end{cases}
      把每个方程写成标准形式
    2. [0−2−2222−3−140230]\begin{bmatrix}0 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      构造增广矩阵 [A | b]
    3. 高斯–若尔当消元法
    4. [22−3−140−2−220230]\begin{bmatrix}2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      交换 R1 和 R2
  3. 3. 步骤，第2部分
    1. R1→12R1: [11−32−70−2−220230]R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      R1 除以 2
    2. R2→1−2R2: [11−32−7011−10230]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      R2 除以 -2
    3. R1→R1−1R2, R3→R3−2R2: [10−52−6011−10012]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{5}{2} & -6 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      用 R2 中的主元消去 2 列
    4. R1→R1+52R3, R2→R2−1R3: [100−1010−30012]R_{1} \to R_{1} + \frac{5}{2} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      用 R3 中的主元消去 3 列
  4. 4. 步骤，第3部分
    1. [100−1010−30012]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      简化行阶梯形
    2. x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2
      读出唯一解
  5. 5. 答案
    x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2

    -2y - 2z = 2; 2x + 2y - 3z = -14; 2y + 3z = 0 ⇒ x = -1, y = -3, z = 2

  6. 6. 检验
    • 方程 1：-2y - 2z = 2 ✓
    • 方程 2：2x + 2y - 3z = -14 ✓
    • 方程 3：2y + 3z = 0 ✓

文字稿

题目. 题目是：解方程组 减 2y 减 2z 等于 2, 2x 加 2y 减 3z 等于 负 14, 2y 加 3z 等于 0. 含 3 个未知数 (x, y, z) 的 3 个线性方程。

步骤，第1部分. 把每个方程写成标准形式. 把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。 构造增广矩阵 [A | b]. 各列：x, y, z | 常数。 高斯–若尔当消元法. 用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。 交换 R1 和 R2.

步骤，第2部分. R1 除以 2. R2 除以 负 2. 用 R2 中的主元消去 2 列. 用 R3 中的主元消去 3 列.

步骤，第3部分. 简化行阶梯形. 读出唯一解.

答案. 所以答案是 x 等于 负 1, y 等于 负 3, z 等于 2. 方程组恰有一个解；代回后每个方程都成立。

检验. 方程 1：-2y 减 2z 等于 2，验证成立. 方程 2：2x 加 2y 减 3z 等于 负 14，验证成立. 方程 3：2y 加 3z 等于 0，验证成立.

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