方程组代数高中≈ 1:38

解方程组 -3x - 3y - 3z = 9, -3x - y - 3z = 1, -x + 3y + 3z = -25

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1. 题目
例题讲解
$\begin{cases} -3x-3y-3z = 9 \\ -3x- y-3z = 1 \\ - x+3y+3z = -25 \end{cases}$
2. 步骤，第1部分
1. $\begin{cases} -3x - 3y - 3z = 9 \\ -3x - y - 3z = 1 \\ -x + 3y + 3z = -25 \end{cases}$
  把每个方程写成标准形式
2. $\begin{bmatrix}-3 & -3 & -3 & 9 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  构造增广矩阵 [A | b]
3. 高斯–若尔当消元法
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-3} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  R1 除以 -3
3. 步骤，第2部分
1. $R_{2} \to R_{2} + 3R_{1},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  用 R1 中的主元消去 1 列
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  R2 除以 2
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & -12\end{bmatrix}$
  用 R2 中的主元消去 2 列
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  R3 除以 4
4. 步骤，第3部分
1. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  用 R3 中的主元消去 3 列
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  简化行阶梯形
3. $x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
  读出唯一解
5. 答案
$x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
-3x - 3y - 3z = 9; -3x - y - 3z = 1; -x + 3y + 3z = -25 ⇒ x = 4, y = -4, z = -3
6. 检验
- 方程 1：-3x - 3y - 3z = 9 ✓
- 方程 2：-3x - y - 3z = 1 ✓
- 方程 3：-x + 3y + 3z = -25 ✓

文字稿

题目. 题目是：解方程组负 3x 减 3y 减 3z 等于 9, 负 3x 减 y 减 3z 等于 1, 负 x 加 3y 加 3z 等于负 25. 含 3 个未知数 (x, y, z) 的 3 个线性方程。

步骤，第1部分. 把每个方程写成标准形式. 把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。构造增广矩阵 [A | b]. 各列：x, y, z | 常数。高斯–若尔当消元法. 用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。 R1 除以负 3.

步骤，第2部分. 用 R1 中的主元消去 1 列. R2 除以 2. 用 R2 中的主元消去 2 列. R3 除以 4.

步骤，第3部分. 用 R3 中的主元消去 3 列. 简化行阶梯形. 读出唯一解.

答案. 所以答案是 x 等于 4, y 等于负 4, z 等于负 3. 方程组恰有一个解；代回后每个方程都成立。

检验. 方程 1：-3x 减 3y 减 3z 等于 9，验证成立. 方程 2：-3x 减 y 减 3z 等于 1，验证成立. 方程 3：-x 加 3y 加 3z 等于负 25，验证成立.

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