DreieckeGeometrieOberstufe≈ 1:30

Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5
2. Schritte, Teil 1
1. Die Dreiecksungleichung prüfen
2. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2(3)(4)} \approx 0 \Rightarrow C \approx 90^\circ$
  Winkel C (gegenüber der Seite c)
3. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2(4)(5)} \approx 0.8 \Rightarrow A \approx 36.869898^\circ$
  Winkel A (gegenüber der Seite a)
4. $B = 180^\circ - A - C \approx 53.130102^\circ$
  Dritter Winkel aus der Winkelsumme
3. Schritte, Teil 2
1. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 6$
  Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
4. Die Antwort
$\text{A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°}$
A ≈ 36.869898°, B ≈ 53.130102°, C ≈ 90°
5. Probe
- A + B + C = 180°.
- Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 6.
- Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 5, b/sin B ≈ 5, c/sin C ≈ 5.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5. SSS: alle drei Winkel bestimmen.

Schritte, Teil 1. Die Dreiecksungleichung prüfen. 3 plus 4 gleich 7 größer als 5, also existiert ein Dreieck. Winkel C (gegenüber der Seite c). Winkel A (gegenüber der Seite a). Dritter Winkel aus der Winkelsumme.

Schritte, Teil 2. Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Die Antwort. Die Antwort lautet also A ungefähr 36.869898°, B ungefähr 53.130102°, C ungefähr 90°. Das Dreieck hat die Seiten a gleich 3, b gleich 4, c gleich 5 und die Winkel A ungefähr 36.869898°, B ungefähr 53.130102°, C ungefähr 90°. Es ist ein rechtwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ungefähr 6 und dem Umfang ungefähr 12.

Probe. A plus B plus C gleich 180°. Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 6. Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ungefähr 5, b/sin B ungefähr 5, c/sin C ungefähr 5.

Schritte auf dem Bildschirm

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