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Aufgabe lösen
DreieckeGeometrieOberstufe≈ 1:53

Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 13

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: A ≈ 27.795772°, B ≈ 32.204228°, C ≈ 120°.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 13

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.7 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 13
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. Die Dreiecksungleichung prüfen
    2. cos⁡C=a2+b2−c22ab=72+82−1322(7)(8)≈−0.5⇒C≈120∘\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2(7)(8)} \approx -0.5 \Rightarrow C \approx 120^\circ
      Winkel C (gegenüber der Seite c)
    3. cos⁡A=b2+c2−a22bc=82+132−722(8)(13)≈0.88461538⇒A≈27.795772∘\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 13^2 - 7^2}{2(8)(13)} \approx 0.88461538 \Rightarrow A \approx 27.795772^\circ
      Winkel A (gegenüber der Seite a)
    4. B=180∘−A−C≈32.204228∘B = 180^\circ - A - C \approx 32.204228^\circ
      Dritter Winkel aus der Winkelsumme
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. Fla¨cheninhalt=12absin⁡C≈24.248711\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 24.248711
      Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
  4. 4. Die Antwort
    A ≈ 27.795772°, B ≈ 32.204228°, C ≈ 120°\text{A ≈ 27.795772°, B ≈ 32.204228°, C ≈ 120°}

    A ≈ 27.795772°, B ≈ 32.204228°, C ≈ 120°

  5. 5. Probe
    • A + B + C = 180°.
    • Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 24.248711.
    • Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 15.011107, b/sin B ≈ 15.011107, c/sin C ≈ 15.011107.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 13. SSS: alle drei Winkel bestimmen.

Schritte, Teil 1. Die Dreiecksungleichung prüfen. 7 plus 8 gleich 15 größer als 13, also existiert ein Dreieck. Winkel C (gegenüber der Seite c). Winkel A (gegenüber der Seite a). Dritter Winkel aus der Winkelsumme.

Schritte, Teil 2. Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Die Antwort. Die Antwort lautet also A ungefähr 27.795772°, B ungefähr 32.204228°, C ungefähr 120°. Das Dreieck hat die Seiten a gleich 7, b gleich 8, c gleich 13 und die Winkel A ungefähr 27.795772°, B ungefähr 32.204228°, C ungefähr 120°. Es ist ein stumpfwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ungefähr 24.248711 und dem Umfang ungefähr 28.

Probe. A plus B plus C gleich 180°. Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 24.248711. Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ungefähr 15.011107, b/sin B ungefähr 15.011107, c/sin C ungefähr 15.011107.

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