DreieckeGeometrieOberstufe≈ 1:58

Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 5, 6 und 9

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Originalaufgabe (Englisch): Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 5, 6 und 9

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 5, 6 und 9
2. Schritte, Teil 1
1. Die Dreiecksungleichung prüfen
2. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2(5)(6)} \approx -0.33333333 \Rightarrow C \approx 109.47122^\circ$
  Winkel C (gegenüber der Seite c)
3. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{6^2 + 9^2 - 5^2}{2(6)(9)} \approx 0.85185185 \Rightarrow A \approx 31.586338^\circ$
  Winkel A (gegenüber der Seite a)
4. $B = 180^\circ - A - C \approx 38.942441^\circ$
  Dritter Winkel aus der Winkelsumme
3. Schritte, Teil 2
1. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 14.142136$
  Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
4. Die Antwort
$\text{A ≈ 31.586338°, B ≈ 38.942441°, C ≈ 109.47122°}$
A ≈ 31.586338°, B ≈ 38.942441°, C ≈ 109.47122°
5. Probe
- A + B + C = 180°.
- Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 14.142136.
- Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 9.5459415, b/sin B ≈ 9.5459415, c/sin C ≈ 9.5459415.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme alle drei Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 5, 6 und 9. SSS: alle drei Winkel bestimmen.

Schritte, Teil 1. Die Dreiecksungleichung prüfen. 5 plus 6 gleich 11 größer als 9, also existiert ein Dreieck. Winkel C (gegenüber der Seite c). Winkel A (gegenüber der Seite a). Dritter Winkel aus der Winkelsumme.

Schritte, Teil 2. Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Die Antwort. Die Antwort lautet also A ungefähr 31.586338°, B ungefähr 38.942441°, C ungefähr 109.47122°. Das Dreieck hat die Seiten a gleich 5, b gleich 6, c gleich 9 und die Winkel A ungefähr 31.586338°, B ungefähr 38.942441°, C ungefähr 109.47122°. Es ist ein stumpfwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ungefähr 14.142136 und dem Umfang ungefähr 20.

Probe. A plus B plus C gleich 180°. Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 14.142136. Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ungefähr 9.5459415, b/sin B ungefähr 9.5459415, c/sin C ungefähr 9.5459415.

Schritte auf dem Bildschirm

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