DreieckeGeometrieOberstufe≈ 2:05

Zwei Seiten eines Dreiecks sind 3 und 8 mit einem 45° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite

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Originalaufgabe (Englisch): Zwei Seiten eines Dreiecks sind 3 und 8 mit einem 45° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Zwei Seiten eines Dreiecks sind 3 und 8 mit einem 45° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite
2. Schritte, Teil 1
1. $c^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8)\cos 45^\circ \approx 39.058875$
  In c² = a² + b² − 2ab·cos C einsetzen
2. $c \approx 6.24971$
  Die Wurzel ziehen
3. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.9406324 \Rightarrow A \approx 19.841968^\circ$
  Winkel A mit dem umgestellten Kosinussatz bestimmen
4. $B = 180^\circ - A - C \approx 115.15803^\circ$
  Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°
3. Schritte, Teil 2
1. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 8.4852814$
  Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
4. Die Antwort
$\text{c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°}$
c ≈ 6.24971; A ≈ 19.841968°, B ≈ 115.15803°
5. Probe
- A + B + C = 180°.
- Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 8.4852814.
- Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 8.8384246, b/sin B ≈ 8.8384246, c/sin C ≈ 8.8384246.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Zwei Seiten eines Dreiecks sind 3 und 8 mit einem 45° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite. SWS: die dritte Seite und die übrigen Winkel bestimmen.

Schritte, Teil 1. In c hoch zwei gleich a hoch zwei plus b hoch zwei minus 2ab mal cos C einsetzen. Die Wurzel ziehen. Winkel A mit dem umgestellten Kosinussatz bestimmen. Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°.

Schritte, Teil 2. Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Die Antwort. Die Antwort lautet also c ungefähr 6.24971; A ungefähr 19.841968°, B ungefähr 115.15803°. Das Dreieck hat die Seiten a gleich 3, b gleich 8, c ungefähr 6.24971 und die Winkel A ungefähr 19.841968°, B ungefähr 115.15803°, C ungefähr 45°. Es ist ein stumpfwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ungefähr 8.4852814 und dem Umfang ungefähr 17.24971.

Probe. A plus B plus C gleich 180°. Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 8.4852814. Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ungefähr 8.8384246, b/sin B ungefähr 8.8384246, c/sin C ungefähr 8.8384246.

Schritte auf dem Bildschirm

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