MatrizenLineare AlgebraHochschule≈ 0:44

Inverse von [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]].

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{-1}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\det A = 24 \neq 0$
  Prüfen, dass die Determinante ungleich null ist
2. $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Matrix [A | I] aufschreiben
3. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  R1 durch 2 teilen
4. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  R2 durch 3 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  R3 durch 4 teilen
2. $A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  Die rechte Hälfte ist jetzt die Inverse
3. $A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Probe: A·A⁻¹ = I
4. Die Antwort
$A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]]
5. Probe
- Multipliziert man A mit dem Ergebnis, erhält man exakt die Einheitsmatrix.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Inverse von [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]. Die Inverse einer 3 mal 3-Matrix berechnen.

Schritte, Teil 1. Prüfen, dass die Determinante ungleich null ist. Die erweiterte Matrix [A | I] aufschreiben. R1 durch 2 teilen. R2 durch 3 teilen.

Schritte, Teil 2. R3 durch 4 teilen. Die rechte Hälfte ist jetzt die Inverse. Probe: A mal A hoch minus 1 gleich I.

Die Antwort. Die Antwort lautet also A hoch minus 1 gleich [[1 durch 2, 0, 0], [0, 1 durch 3, 0], [0, 0, 1 durch 4]]. Die Determinante ist 24, also ist A invertierbar. Alle Einträge der Inversen sind exakt.

Probe. Multipliziert man A mit dem Ergebnis, erhält man exakt die Einheitsmatrix.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

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