DreieckeGeometrieOberstufe≈ 2:06

Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 und 7 mit einem 60° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite

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Originalaufgabe (Englisch): Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 und 7 mit einem 60° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 und 7 mit einem 60° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite
2. Schritte, Teil 1
1. $c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
  In c² = a² + b² − 2ab·cos C einsetzen
2. $c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
  Die Wurzel ziehen
3. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
  Winkel A mit dem umgestellten Kosinussatz bestimmen
4. $B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
  Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°
3. Schritte, Teil 2
1. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$
  Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
4. Die Antwort
$\text{c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°}$
c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°
5. Probe
- A + B + C = 180°.
- Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 15.155445.
- Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 und 7 mit einem 60° Winkel dazwischen. Bestimme die dritte Seite. SWS: die dritte Seite und die übrigen Winkel bestimmen.

Schritte, Teil 1. In c hoch zwei gleich a hoch zwei plus b hoch zwei minus 2ab mal cos C einsetzen. Die Wurzel ziehen. Winkel A mit dem umgestellten Kosinussatz bestimmen. Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°.

Schritte, Teil 2. Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Die Antwort. Die Antwort lautet also c gleich die Wurzel aus 39 ungefähr 6.244997998; A ungefähr 43.897886°, B ungefähr 76.102114°. Das Dreieck hat die Seiten a gleich 5, b gleich 7, c ungefähr 6.244998 und die Winkel A ungefähr 43.897886°, B ungefähr 76.102114°, C ungefähr 60°. Es ist ein spitzwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ungefähr 15.155445 und dem Umfang ungefähr 18.244998.

Probe. A plus B plus C gleich 180°. Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 15.155445. Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ungefähr 7.2111026, b/sin B ungefähr 7.2111026, c/sin C ungefähr 7.2111026.

Schritte auf dem Bildschirm

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