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Resolver un problema
Integrales indefinidasCálculoUniversidad≈ 1:13

Antiderivada de sin(x)³

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
      Partir de la integral
    2. sin3(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)0+−1sin⁡(x)cos⁡(x)2sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}
      Potencia impar: escribir sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, luego sustituir u = cos
    3. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−1∫u0 du\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du
      Sustituir u = cos(x), así que du = (-sin(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Regla de la potencia: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−cos⁡(x)\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)
      Deshacer la sustitución u = cos(x)
    2. ∫−1sin⁡(x)cos⁡(x)2 dx=∫u2 du\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du
      Sustituir u = cos(x), así que du = (-sin(x)) dx
    3. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)
      Integrar término a término
    4. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C
      Simplificar y añadir la constante de integración
  4. 4. La respuesta
    cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C

    ∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C

  5. 5. Comprobación
    • Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Antiderivada de sin(x) al cubo. Calcular la integral indefinida (primitiva) de sin(x) al cubo respecto de x.

Pasos, parte 1. Partir de la integral. Potencia impar: escribir sin al cubo u es igual a sin u por (1 menos cos al cuadrado u) elevado a 1, luego sustituir u es igual a cos. Sustituir u es igual a cos(x), así que du es igual a (menos sin(x)) dx. Regla de la potencia: la integral de x elevado a n dx es igual a x elevado a n más 1/(n más 1).

Pasos, parte 2. Deshacer la sustitución u es igual a cos(x). Sustituir u es igual a cos(x), así que du es igual a (menos sin(x)) dx. Integrar término a término. Simplificar y añadir la constante de integración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es cos(x) al cubo/3 menos cos(x) más C. Una primitiva F cumple F prima de x es igual a f(x). Como la derivada de cualquier constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

Comprobación. Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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